Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 49)

Тема: Многокутники. Площі многокутників

Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 8 см. Точка перетину діагоналей трапеції віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язок:

Нехай $ABCD$ — рівнобічна трапеція з основами $BC = 8$ см (менша) і $AD$ (більша), $O$ — точка перетину діагоналей. Проведемо через $O$ спільний перпендикуляр до основ: $F \in BC$, $E \in AD$. Точка $O$ розташована ближче до меншої основи, тому $OF = 2$ см, $OE = 3$ см.

Оскільки трапеція рівнобічна, пряма $FE$ є віссю симетрії трапеції, тому $F$ — середина $BC$, а $E$ — середина $AD$. Отже:

$FC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\text{ (см)},$

$\quad\quad EA = \frac{1}{2}AD.$

Розглянемо прямокутні трикутники $OFC$ і $OEA$ ($\angle OFC = \angle OEA = 90{^\circ}$). Кути $\angle OCF$ і $\angle OAE$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC \parallel AD$ і січній $AC$, тому $\angle OCF = \angle OAE$. Отже, $\bigtriangleup OFC \sim \bigtriangleup OEA$ за двома кутами.

З подібності:

$\frac{FC}{EA} = \frac{OF}{OE};\quad\quad\frac{4}{EA} = \frac{2}{3};$

$\quad\quad EA = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\text{ (см)}.$

Тоді $AD = 2 \cdot EA = 12$ см.

Висота трапеції:

$h = FE = OF + OE =$

$= 2 + 3 = 5\text{ (см)}.$

Площа трапеції:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 8}{2} \cdot 5 =$

$= 10 \cdot 5 = 50\text{ (см}^{2}\text{)}.$

Відповідь:

50 см².