Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 48)

Тема: Многокутники. Площі многокутників

Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей трапеції віддалена від основ на 6 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язок:

Нехай $ABCD$ — рівнобічна трапеція з основами $AD = 12$ см і $BC$, $O$ — точка перетину діагоналей. Проведемо через $O$ спільний перпендикуляр до основ: $F \in BC$, $E \in AD$, причому $OF = 5$ см, $OE = 6$ см.

Оскільки трапеція рівнобічна, пряма $FE$ є віссю симетрії трапеції, тому $F$ — середина $BC$, а $E$ — середина $AD$. Отже:

$EA = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\text{ (см)},$

$\quad\quad FC = \frac{1}{2}BC.$

Розглянемо прямокутні трикутники $OFC$ і $OEA$ ($\angle OFC = \angle OEA = 90{^\circ}$). Кути $\angle OCF$ і $\angle OAE$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $BC \parallel AD$ і січній $AC$, тому $\angle OCF = \angle OAE$. Отже, $\bigtriangleup OFC \sim \bigtriangleup OEA$ за двома кутами.

З подібності:

$\frac{FC}{EA} = \frac{OF}{OE};\quad\quad\frac{FC}{6} = \frac{5}{6};$

$\quad\quad FC = 5\text{ (см)}.$

Тоді $BC = 2 \cdot FC = 10$ см.

Висота трапеції:

$h = FE = OF + OE =$

$= 5 + 6 = 11\text{ (см)}.$

Площа трапеції:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 10}{2} \cdot 11 = $

$=121\text{ (см}^{2}\text{)}.$

Відповідь:

121 см².