Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Додавання та віднімання дробів

Доведіть тотожність $\frac{15a+2,5b}{9a^2-1,5ab}-\frac{15a-2,5b}{9a^2+1,5ab}+$
$+\frac{60a}{9a^2-0,25b^2}=\frac{40}{6a-b}.$

Розв’язок:

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку зведемо перших два дроби до спільного знаменника:

$\frac{15a+2,5b}{9a^2-1,5ab}-\frac{15a-2,5b}{9a^2+1,5ab}=$
$=\frac{\left(15a+2,5b\right)\left(9a^2+1,5ab\right)-\left(15a-2,5b\right)\left(9a^2-1,5ab\right)}{\left(9a^2-1,5ab\right)\left(9a^2+1,5ab\right)};$
Розкриємо кожен добуток:
$\left(15a+2{,}5b\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)=$
$=135a^3+22{,}5a^2b+22{,}5a^2b+$
$+3{,}75ab^2=135a^3+45a^2b+3{,}75ab^2;$
$\left(15a-2{,}5b\right)\left(9a^2-1{,}5ab\right)=$
$=135a^3-22{,}5a^2b-22{,}5a^2b+$
$+3{,}75ab^2=135a^3-45a^2b+3{,}75ab^2;$
$\left(9a^2-1{,}5ab\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)=$
$=\left(9a^2\right)^2-\left(1{,}5ab\right)^2=$
$=81a^4-2{,}25a^2b^2;$
Обчислюємо різницю чисельників:
$\left(135a^3+45a^2b+3{,}75ab^2\right)-$
$-\left(135a^3-45a^2b+3{,}75ab^2\right)=90a^2b$
Отримаємо:
$\frac{90a^2b}{81a^4-2,25a^2b^2}=\frac{\left(9a^2\right)\cdot10b}{9a^2\cdot\left(9a^2-0,25b^2\right)}=$
$=\frac{10b}{9a^2-0,25b^2};$
Додаємо третій дріб:
$\frac{10b}{9a^2-0,25b^2}+\frac{60a}{9a^2-0,25b^2}=\frac{60a+10b}{9a^2-0,25b^2}=$
$=\frac{10\left(6a+b\right)}{0,25\left(36a^2-b^2\right)}=\frac{10\left(6a+b\right)}{0,25\left(6a-b\right)\left(6a+b\right)}=$
$=\frac{10}{0,25\left(6a-b\right)}=\frac{40}{6a-b}$

Відповідь:

✅Тотожність доведено.