Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Додавання та віднімання дробів

Доведіть тотожність $\frac{9a+1,5b}{9a^2-1,5ab}-\frac{9a-1,5b}{9a^2+1,5ab}+$
$+\frac{36a}{9a^2-0,25b^2}=\frac{24}{6a-b}.$

Розв’язок:

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього спочатку зведемо перших два дроби до спільного знаменника:

$\frac{9a+1{,}5b}{9a^2-1{,}5ab}-\frac{9a-1{,}5b}{9a^2+1{,}5ab}=$
$=\frac{\left(9a+1{,}5b\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)-\left(9a-1{,}5b\right)\left(9a^2-1{,}5ab\right)}{\left(9a^2-1{,}5ab\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)};$
Розкриємо кожен добуток:
$\left(9a+1{,}5b\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)=$
$=81a^3+13{,}5a^2b+13{,}5a^2b+$
$+2{,}25ab^2=81a^3+27a^2b+2{,}25ab^2;$
$\left(9a-1{,}5b\right)\left(9a^2-1{,}5ab\right)=$
$=81a^3-13{,}5a^2b-13{,}5a^2b+$
$+2{,}25ab^2=81a^3-27a^2b+2{,}25ab^2;$
$\left(9a^2-1{,}5ab\right)\left(9a^2+1{,}5ab\right)=$
$=\left(9a^2\right)^2-\left(1{,}5ab\right)^2=$
$=81a^4-2{,}25a^2b^2;$
Обчислюємо різницю чисельників:
$\left(81a^3+27a^2b+2{,}25ab^2\right)-$
$-\left(81a^3-27a^2b+2{,}25ab^2\right)=54a^2b$
Отримаємо:
$\frac{54a^2b}{81a^4-2{,}25a^2b^2}=$
$=\frac{\left(9a^2\right)\cdot6b}{9a^2\cdot\left(9a^2-0{,}25b^2\right)}=$
$=\frac{6b}{9a^2-0{,}25b^2};$
Додаємо третій дріб:
$\frac{6b}{9a^2-0{,}25b^2}+\frac{36a}{9a^2-0{,}25b^2}=\frac{36a+6b}{9a^2-0{,}25b^2}=$
$=\frac{6\left(6a+b\right)}{0{,}25\left(36a^2-b^2\right)}=\frac{6\left(6a+b\right)}{0,25\left(6a-b\right)\left(6a+b\right)}=$
$=\frac{6}{0{,}25\left(6a-b\right)}=\frac{24}{6a-b}$

Відповідь:

✅Тотожність доведено.