Сторінка 34
377. Чи можна описати коло навколо чотирикутника $ABCD$, якщо:
1) $\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 110^\circ$;
2) $\angle B = 50^\circ$, $\angle D = 120^\circ$?
Розв'язок:
Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума його протилежних кутів дорівнює $180^\circ$.
1) $\angle A + \angle C =$
$= 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$ — можна.
2) $\angle B + \angle D =$
$= 50^\circ + 120^\circ = 170^\circ$, $170^\circ \ne 180^\circ$ — не можна.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
378. Чи можна вписати коло в чотирикутник $ABCD$, якщо:
1) $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $CD = 2$ см, $DA = 5$ см;
2) $AB = 9$ см, $BC = 4$ см, $CD = 8$ см, $DA = 4$ см?
Розв'язок:
У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні.
1) $AB + CD = 8 + 2 = 10$ (см);
$BC + DA = 5 + 5 = 10$ (см).
Суми рівні — можна.
2) $AB + CD = 9 + 8 = 17$ (см);
$BC + DA = 4 + 4 = 8$ (см).
$17 \ne 8$ — не можна.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
379. Чи можна вписати в чотирикутник $MKLN$ коло, якщо:
1) $MK = 8$ см, $KL = 5$ см, $LN = 9$ см, $NM = 7$ см;
2) $MK = 9$ см, $KL = 10$ см, $LN = 4$ см, $NM = 3$ см?
Розв'язок:
У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні.
1) $MK + LN = 8 + 9 = 17$ (см);
$KL + NM = 5 + 7 = 12$ (см).
$17 \ne 12$ — не можна.
2) $MK + LN = 9 + 4 = 13$ (см);
$KL + NM = 10 + 3 = 13$ (см).
Суми рівні — можна.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
380. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого в порядку слідування відносяться як:
1) $2 : 7 : 10 : 5$;
2) $5 : 8 : 4 : 3$?
Розв'язок:
Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$. Коло можна описати, якщо сума протилежних кутів (першого й третього) дорівнює $180^\circ$.
1) Нехай кути $2x$, $7x$, $10x$, $5x$.
$2x + 7x + 10x + 5x = 360^\circ$;
$24x = 360^\circ$; $x = 15^\circ$.
Перший і третій кути:
$2x + 10x = 12 \cdot 15^\circ = 180^\circ$ — можна.
2) Нехай кути $5x$, $8x$, $4x$, $3x$.
$5x + 8x + 4x + 3x = 360^\circ$;
$20x = 360^\circ$; $x = 18^\circ$.
Перший і третій кути:
$5x + 4x = 9 \cdot 18^\circ = 162^\circ$;
$162^\circ \ne 180^\circ$ — не можна.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
381. Чи можна описати навколо чотирикутника коло, кути якого в порядку слідування відносяться як:
1) $3 : 4 : 5 : 6$;
2) $2 : 7 : 8 : 3$?
Розв'язок:
Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$. Коло можна описати, якщо сума протилежних кутів (першого й третього) дорівнює $180^\circ$.
1) Нехай кути $3x$, $4x$, $5x$, $6x$.
$3x + 4x + 5x + 6x = 360^\circ$;
$18x = 360^\circ$; $x = 20^\circ$.
Перший і третій кути:
$3x + 5x = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ$;
$160^\circ \ne 180^\circ$ — не можна.
2) Нехай кути $2x$, $7x$, $8x$, $3x$.
$2x + 7x + 8x + 3x = 360^\circ$;
$20x = 360^\circ$; $x = 18^\circ$.
Перший і третій кути:
$2x + 8x = 10 \cdot 18^\circ = 180^\circ$ — можна.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
382. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як:
1) $9 : 8 : 7 : 6$;
2) $8 : 7 : 5 : 6$?
Розв'язок:
Коло можна вписати, якщо суми протилежних сторін рівні. Протилежні сторони — перша й третя, друга й четверта.
1) Нехай сторони $9x$, $8x$, $7x$, $6x$.
$9x + 7x = 16x$; $8x + 6x = 14x$;
$16x \ne 14x$ — не можна.
2) Нехай сторони $8x$, $7x$, $5x$, $6x$.
$8x + 5x = 13x$; $7x + 6x = 13x$.
Суми рівні — можна.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
383. Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як:
1) $8 : 3 : 2 : 7$;
2) $4 : 3 : 5 : 10$?
Розв'язок:
Коло можна вписати, якщо суми протилежних сторін рівні. Протилежні сторони — перша й третя, друга й четверта.
1) Нехай сторони $8x$, $3x$, $2x$, $7x$.
$8x + 2x = 10x$; $3x + 7x = 10x$.
Суми рівні — можна.
2) Нехай сторони $4x$, $3x$, $5x$, $10x$.
$4x + 5x = 9x$; $3x + 10x = 13x$;
$9x \ne 13x$ — не можна.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
384. Знайдіть кути $C$ і $D$ чотирикутника $ABCD$, вписаного в коло, якщо $\angle A = 73^\circ$, $\angle B = 118^\circ$.
Розв'язок:
У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A =$
$= 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$;
$\angle D = 180^\circ - \angle B =$
$= 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.
Відповідь: $\angle C = 107^\circ$, $\angle D = 62^\circ$.
385. Знайдіть кути $A$ і $B$ чотирикутника $ABCD$, вписаного в коло, якщо $\angle C = 112^\circ$, $\angle D = 67^\circ$.
Розв'язок:
У вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - \angle C =$
$= 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$;
$\angle B = 180^\circ - \angle D =$
$= 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.
Відповідь: $\angle A = 68^\circ$, $\angle B = 113^\circ$.
386. $ABCD$ – чотирикутник, описаний навколо кола, $AB = 7$ см, $BC = 9$ см, $CD = 10$ см. Знайдіть $AD$.
Розв'язок:
В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні:
$AB + CD = BC + AD$;
$7 + 10 = 9 + AD$;
$AD = 17 - 9 = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.
387. Чотирикутник $ABCD$ описано навколо кола, $BC = 8$ см, $CD = 7$ см, $DA = 9$ см. Знайдіть $AB$.
Розв'язок:
В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні:
$AB + CD = BC + DA$;
$AB + 7 = 8 + 9$;
$AB = 17 - 7 = 10$ (см).
Відповідь: 10 см.
388. Коло вписано в рівнобічну трапецію, периметр якої 20 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AB = CD$. У трапецію вписано коло, тому
$AB + CD = BC + AD$.
Тоді $P = 2(AB + CD) = 4AB$;
$4AB = 20$;
$AB = 5$ (см).
Відповідь: 5 см.
389. Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трапеції.
Розв'язок:
Трапеція описана навколо кола, тому сума основ дорівнює сумі бічних сторін:
$4 + 4 = 8$ (см).
$P = 8 + 8 = 16$ (см).
Відповідь: 16 см.
390. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, у порядку слідування відносяться як $2 : 4 : 3$. Знайдіть кути чотирикутника.
Розв'язок:
Нехай $\angle A = 2x$, $\angle B = 4x$, $\angle C = 3x$. Чотирикутник вписаний, тому
$\angle A + \angle C = 180^\circ$;
$2x + 3x = 180^\circ$;
$5x = 180^\circ$; $x = 36^\circ$.
$\angle A = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$;
$\angle B = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$;
$\angle C = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$;
$\angle D = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Відповідь: $72^\circ$, $144^\circ$, $108^\circ$, $36^\circ$.
391. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, у порядку слідування відносяться як $5 : 7 : 13$. Знайдіть кути чотирикутника.
Розв'язок:
Нехай $\angle A = 5x$, $\angle B = 7x$, $\angle C = 13x$. Чотирикутник вписаний, тому
$\angle A + \angle C = 180^\circ$;
$5x + 13x = 180^\circ$;
$18x = 180^\circ$; $x = 10^\circ$.
$\angle A = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$;
$\angle B = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$;
$\angle C = 13 \cdot 10^\circ = 130^\circ$;
$\angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$, $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$.
392. У гострокутному трикутнику $ABC$ проведено висоти $AH_1$ і $BH_2$, які перетинаються в точці $H$. Чи можна навколо чотирикутника $CH_1HH_2$ описати коло?
Розв'язок:
$AH_1 \perp BC$, $BH_2 \perp AC$, тому
$\angle CH_1H = \angle CH_2H = 90^\circ$.
Ці кути протилежні в чотирикутнику $CH_1HH_2$:
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$,
тому навколо нього можна описати коло.
Відповідь: так.
393. Точка $K$ належить стороні $BC$ гострокутного трикутника $ABC$. $KM$ і $KN$ – перпендикуляри відповідно до сторін $AB$ і $AC$. Чи можна навколо чотирикутника $AMKN$ описати коло?
Розв'язок:
$KM \perp AB$, $KN \perp AC$, тому
$\angle AMK = \angle ANK = 90^\circ$.
Ці кути протилежні в чотирикутнику $AMKN$:
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$,
тому навколо нього можна описати коло.
Відповідь: так.
394. У чотирикутнику $ABCD$ $\angle ABC = 70^\circ$, $\angle ADC = 110^\circ$, $\angle BDC = 50^\circ$. Знайдіть $\angle BAC$.
Розв'язок:
$\angle ABC + \angle ADC =$
$= 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.
Сума протилежних кутів чотирикутника $ABCD$ дорівнює $180^\circ$, тому навколо нього можна описати коло.
Кути $BAC$ і $BDC$ — вписані й спираються на ту саму дугу $BC$, тому вони рівні:
$\angle BAC = \angle BDC = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$.