Сторінка 30
315. Два кути трапеції дорівнюють $150^\circ$ і $80^\circ$. Знайдіть невідомі кути трапеції.
Розв'язок:
Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює $180^\circ$. Оскільки $150^\circ + 80^\circ \ne 180^\circ$, ці кути прилеглі до різних бічних сторін.
$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$;
$180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Відповідь: $30^\circ$ і $100^\circ$.
316. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а периметр – 30 см. Знайдіть бічну сторону трапеції.
Розв'язок:
Нехай бічна сторона дорівнює $x$ см. Бічні сторони рівнобічної трапеції рівні:
$6 + 10 + 2x = 30$;
$2x = 14$;
$x = 7$.
Відповідь: 7 см.
317. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 8 см, а бічна сторона – 9 см. Знайдіть периметр трапеції.
Розв'язок:
Бічні сторони рівнобічної трапеції рівні:
$P = 5 + 8 + 9 + 9 = 31$ (см).
Відповідь: 31 см.
318. Чи існує трапеція, у якої два протилежні кути:
1) гострі;
2) прямі;
3) тупі?
У разі ствердної відповіді зробіть малюнок.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — трапеція з основами $AD$ і $BC$. Тоді
$\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
1) Так. Якщо $\angle A$ і $\angle C$ гострі, то $\angle B$ і $\angle D$ — тупі. Таку трапецію зображено на малюнку.
2) Ні. Якщо $\angle A = \angle C = 90^\circ$, то
$\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$,
$\angle D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Тоді $ABCD$ — прямокутник, у ньому й бічні сторони паралельні, тому це не трапеція.
3) Так. На тому самому малюнку протилежні кути $B$ і $D$ — тупі.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так.
319. Чи існує трапеція, у якої:
1) основи рівні між собою;
2) три сторони рівні між собою?
У разі ствердної відповіді виконайте малюнок.
Розв'язок:
1) Ні. Якщо дві сторони чотирикутника паралельні й рівні, то він — паралелограм, а в паралелограма паралельні обидві пари сторін, тому це не трапеція.
2) Так, наприклад рівнобічна трапеція, у якої менша основа дорівнює бічній стороні: $AB = BC = CD$.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
320. Чи існує трапеція, у якої:
1) три кути прямі;
2) три кути рівні між собою;
3) два протилежні кути рівні?
У разі ствердної відповіді зробіть малюнок.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — трапеція з основами $AD$ і $BC$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
1) Ні. Сума кутів чотирикутника $360^\circ$, тому четвертий кут:
$360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$.
Чотирикутник з чотирма прямими кутами — прямокутник, а не трапеція.
2) Ні. Серед будь-яких трьох кутів є два кути, прилеглі до однієї бічної сторони. Вони рівні і в сумі дають $180^\circ$, тому кожен дорівнює $90^\circ$. Тоді й третій кут $90^\circ$, а отже, і четвертий — $ABCD$ прямокутник.
3) Ні. Якщо $\angle A = \angle C$, то
$\angle B = 180^\circ - \angle A$,
$\angle D = 180^\circ - \angle C = \angle B$.
Протилежні кути попарно рівні — $ABCD$ паралелограм, а не трапеція.
Відповідь: 1) ні;
2) ні;
3) ні.
321. Знайдіть периметр рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 5 см і 7 см, а бічна сторона дорівнює більшій основі.
Розв'язок:
Бічні сторони дорівнюють по 7 см:
$P = 5 + 7 + 7 + 7 = 26$ (см).
Відповідь: 26 см.
322. У рівнобічній трапеції менша основа і бічна сторона дорівнюють по 8 см, а периметр – 36 см. Знайдіть більшу основу трапеції.
Розв'язок:
Менша основа і дві бічні сторони — по 8 см:
$36 - 3 \cdot 8 = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.
323. $AB$ і $CD$ – основи трапеції $ABCD$. Доведіть, що $\angle ACD = \angle CAB$ і $\angle BDC = \angle DBA$.
Доведення:
$AB \parallel CD$ (основи трапеції).
Кути $ACD$ і $CAB$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $AB$, $CD$ і січній $AC$, тому
$\angle ACD = \angle CAB$.
Кути $BDC$ і $DBA$ — внутрішні різносторонні при паралельних прямих $AB$, $CD$ і січній $BD$, тому
$\angle BDC = \angle DBA$.
324. Чи можуть кути трапеції, у послідовному порядку, відноситися як:
1) $4 : 1 : 2 : 3$;
2) $1 : 4 : 1 : 6$?
Розв'язок:
Сума кутів чотирикутника $360^\circ$. У трапеції кути, прилеглі до кожної бічної сторони, у сумі дають $180^\circ$, а протилежні кути не можуть бути попарно рівні.
1) Нехай кути $4x$, $x$, $2x$, $3x$.
$4x + x + 2x + 3x = 360^\circ$;
$10x = 360^\circ$; $x = 36^\circ$.
Кути: $144^\circ$, $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$.
$144^\circ + 36^\circ = 180^\circ$;
$72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.
Можуть.
2) Нехай кути $x$, $4x$, $x$, $6x$.
$x + 4x + x + 6x = 360^\circ$;
$12x = 360^\circ$; $x = 30^\circ$.
Четвертий кут:
$6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ — кут чотирикутника не може дорівнювати $180^\circ$. Не можуть.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
325. Чи можуть кути трапеції, у послідовному порядку, відноситися як:
1) $5 : 1 : 4 : 5$;
2) $5 : 1 : 3 : 3$?
Розв'язок:
Сума кутів чотирикутника $360^\circ$. У трапеції кути, прилеглі до кожної бічної сторони, у сумі дають $180^\circ$.
1) Нехай кути $5x$, $x$, $4x$, $5x$.
$5x + x + 4x + 5x = 360^\circ$;
$15x = 360^\circ$; $x = 24^\circ$.
Кути: $120^\circ$, $24^\circ$, $96^\circ$, $120^\circ$.
Суми сусідніх кутів:
$144^\circ$, $120^\circ$, $216^\circ$, $240^\circ$ — жодна не дорівнює $180^\circ$. Не можуть.
2) Нехай кути $5x$, $x$, $3x$, $3x$.
$5x + x + 3x + 3x = 360^\circ$;
$12x = 360^\circ$; $x = 30^\circ$.
Кути: $150^\circ$, $30^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$.
$150^\circ + 30^\circ = 180^\circ$;
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Можуть (прямокутна трапеція).
Відповідь: 1) ні;
2) так.
326. Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює $37^\circ$. Знайдіть кут, який утворює висота трапеції, проведена з вершини тупого кута, з бічною стороною.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $\angle A = 37^\circ$, $BH$ — висота.
У прямокутному трикутнику $ABH$:
$\angle ABH = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.
Відповідь: $53^\circ$.
327. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут $43^\circ$. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $BH$ — висота, $\angle ABH = 43^\circ$.
У прямокутному трикутнику $ABH$:
$\angle A = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$.
Трапеція рівнобічна:
$\angle D = \angle A = 47^\circ$;
$\angle B = \angle C = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$.
Відповідь: $47^\circ$, $133^\circ$, $133^\circ$, $47^\circ$.
328. Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини гострого кута, утворює з бічною стороною кут $58^\circ$. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AH$ — висота, проведена до прямої $BC$, $\angle BAH = 58^\circ$.
$AH \perp BC$ і $BC \parallel AD$, тому $AH \perp AD$, тобто $\angle HAD = 90^\circ$.
$\angle A = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$;
$\angle D = \angle A = 32^\circ$;
$\angle B = \angle C = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$.
Відповідь: $32^\circ$, $148^\circ$, $148^\circ$, $32^\circ$.
329. Тупий кут рівнобічної трапеції дорівнює $130^\circ$. Знайдіть кут, який утворює висота трапеції, що проведена з вершини гострого кута, з бічною стороною.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $\angle B = 130^\circ$, $AH$ — висота, проведена до прямої $BC$.
$\angle A = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
$AH \perp BC$ і $BC \parallel AD$, тому $\angle HAD = 90^\circ$.
$\angle BAH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.
Відповідь: $40^\circ$.
330. У трапеції $ABCD$ $AB$ – більша основа. Прямі $BC$ і $AD$ перетинаються в точці $M$. $\angle AMB = 40^\circ$, $\angle MCD = 80^\circ$. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
$CD \parallel AB$, тому $\angle ABC = \angle MCD = 80^\circ$ (відповідні кути при січній $BM$).
У трикутнику $AMB$:
$\angle BAD = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ$.
Кути, прилеглі до бічної сторони, у сумі $180^\circ$:
$\angle BCD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$;
$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Відповідь: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 80^\circ$,
$\angle C = 100^\circ$, $\angle D = 120^\circ$.
331. У трапеції $ABCD$ $CD$ – менша основа. Прямі $BC$ і $AD$ перетинаються в точці $N$, $\angle ABC = 80^\circ$, $\angle ADC = 130^\circ$. Знайдіть кути трикутника $DNC$.
Розв'язок:
$CD \parallel AB$, тому $\angle NCD = \angle ABC = 80^\circ$ (відповідні кути при січній $BN$).
Кути $NDC$ і $ADC$ — суміжні:
$\angle NDC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
У трикутнику $DNC$:
$\angle DNC = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $\angle NCD = 80^\circ$, $\angle NDC = 50^\circ$,
$\angle DNC = 50^\circ$.
332. У трапеції $ABCD$ $BC$ – менша основа. На відрізку $AD$ взято точку $K$ так, що $BK \parallel CD$, $\angle D = 80^\circ$, $\angle ABC = 120^\circ$. Знайдіть кути трикутника $ABK$.
Розв'язок:
Кути, прилеглі до бічної сторони $AB$, у сумі $180^\circ$:
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$BK \parallel CD$, тому $\angle BKA = \angle D = 80^\circ$ (відповідні кути при січній $AD$).
У трикутнику $ABK$:
$\angle ABK = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 40^\circ$.
Відповідь: $\angle A = 60^\circ$, $\angle ABK = 40^\circ$,
$\angle AKB = 80^\circ$.