Сторінка 91
С-3А
1. Тупий кут прямокутної трапеції на $70^\circ$ більший за гострий. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутна трапеція, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle D = x$ — гострий кут, тоді $\angle C = x + 70^\circ$.
Кути, прилеглі до бічної сторони $CD$, у сумі дорівнюють $180^\circ$:
$x + x + 70^\circ = 180^\circ$;
$2x = 110^\circ$;
$x = 55^\circ$.
$\angle D = 55^\circ$, $\angle C = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.
Відповідь: $90^\circ$, $90^\circ$, $125^\circ$, $55^\circ$.
2. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого в порядку слідування відносяться як $3 : 1 : 4 : 2$?
Розв'язок:
Нехай кути чотирикутника дорівнюють $3x$, $x$, $4x$, $2x$. Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$:
$3x + x + 4x + 2x = 360^\circ$;
$10x = 360^\circ$;
$x = 36^\circ$.
Кути: $108^\circ$, $36^\circ$, $144^\circ$, $72^\circ$.
Сума протилежних кутів:
$108^\circ + 144^\circ = 252^\circ$;
$252^\circ \ne 180^\circ$.
Отже, навколо чотирикутника не можна описати коло.
Відповідь: ні.
С-3Б
1. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює $60^\circ$. Менша основа дорівнює 7 см, а більша бічна сторона – 16 см. Знайдіть більшу основу трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутна трапеція, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle D = 60^\circ$, $BC = 7$ см, $CD = 16$ см.
Проведемо висоту $CH$. У прямокутному трикутнику $CHD$:
$\angle HCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Катет $HD$ лежить проти кута $30^\circ$:
$HD = \frac{CD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ (см).
$ABCH$ — прямокутник, тому $AH = BC = 7$ см.
$AD = AH + HD = 7 + 8 = 15$ (см).
Відповідь: 15 см.
2. Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AB = CD = 4$ см.
Трапеція описана навколо кола, тому суми її протилежних сторін рівні:
$AD + BC = AB + CD =$
$= 4 + 4 = 8$ (см).
$P = 8 + 8 = 16$ (см).
Відповідь: 16 см.
С-3В
1. У рівнобічній трапеції $ABCD$: $AB$ – більша основа, $AB = BC$, $\angle DBC = 15^\circ$. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Проведемо діагоналі $AC$ і $BD$.
$\triangle ABD = \triangle BAC$ за двома сторонами і кутом між ними: $AD = BC$ (трапеція рівнобічна), $AB$ — спільна, $\angle DAB = \angle CBA$ (кути при основі рівнобічної трапеції). Тому $\angle ABD = \angle BAC$.
Нехай $\angle ABD = y$, тоді $\angle BAC = y$ і
$\angle ABC = y + 15^\circ$.
Трикутник $ABC$ рівнобедрений ($AB = BC$), тому $\angle BCA = \angle BAC = y$.
Сума кутів трикутника $ABC$:
$y + y + (y + 15^\circ) = 180^\circ$;
$3y = 165^\circ$;
$y = 55^\circ$.
$\angle A = \angle B = 55^\circ + 15^\circ = 70^\circ$;
$\angle C = \angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Відповідь: $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$, $110^\circ$.
2. Трапеція вписана в коло так, що діаметр кола є більшою основою трапеції, а менша основа дорівнює бічній стороні. Знайдіть діаметр кола, якщо периметр трапеції дорівнює 20 см.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AD$ — діаметр кола, $AB = BC = CD = x$ см.
Трапеція вписана в коло, тому вона рівнобічна: $\angle A = \angle D$.
Вписаний кут $ACD$ спирається на діаметр $AD$, тому $\angle ACD = 90^\circ$.
$\angle BCA = \angle CAD$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $AC$), а $\angle BAC = \angle BCA$ (трикутник $ABC$ рівнобедрений, $AB = BC$). Отже, $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle D$.
У прямокутному трикутнику $ACD$:
$\frac{1}{2}\angle D + \angle D = 90^\circ$;
$\angle D = 60^\circ$, $\angle CAD = 30^\circ$.
Катет $CD$ лежить проти кута $30^\circ$, тому $AD = 2CD = 2x$.
$P = x + x + x + 2x = 5x$;
$5x = 20$;
$x = 4$;
$AD = 2 \cdot 4 = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.