Сторінка 90
Варіант 1
С-3А
1. Гострий кут прямокутної трапеції на $50^\circ$ менший від тупого. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутна трапеція, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle D = x$ — гострий кут, тоді $\angle C = x + 50^\circ$.
Кути, прилеглі до бічної сторони $CD$, у сумі дорівнюють $180^\circ$:
$x + x + 50^\circ = 180^\circ$;
$2x = 130^\circ$;
$x = 65^\circ$.
$\angle D = 65^\circ$, $\angle C = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$.
Відповідь: $90^\circ$, $90^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$.
2. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого в порядку слідування відносяться як $2 : 1 : 3 : 4$?
Розв'язок:
Нехай кути чотирикутника дорівнюють $2x$, $x$, $3x$, $4x$. Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$:
$2x + x + 3x + 4x = 360^\circ$;
$10x = 360^\circ$;
$x = 36^\circ$.
Кути: $72^\circ$, $36^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$.
Суми протилежних кутів:
$72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$;
$36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.
Отже, навколо чотирикутника можна описати коло.
Відповідь: так.
С-3Б
1. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює $60^\circ$. Більша основа дорівнює 20 см, а більша бічна сторона – 12 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутна трапеція, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle D = 60^\circ$, $AD = 20$ см, $CD = 12$ см.
Проведемо висоту $CH$. У прямокутному трикутнику $CHD$:
$\angle HCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Катет $HD$ лежить проти кута $30^\circ$:
$HD = \frac{CD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ (см).
$ABCH$ — прямокутник, тому
$BC = AH = AD - HD =$
$= 20 - 6 = 14$ (см).
Відповідь: 14 см.
2. У рівнобічну трапецію, периметр якої дорівнює 20 см, вписано коло. Знайдіть бічну сторону трапеції.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AB = CD$.
У трапецію вписано коло, тому суми її протилежних сторін рівні:
$AB + CD = AD + BC$.
Тоді $AB + CD = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$ (см).
$AB = CD = \frac{10}{2} = 5$ (см).
Відповідь: 5 см.
С-3В
1. У рівнобічній трапеції $ABCD$: $AD$ – більша основа, $AD = AB$, $\angle BAC = 12^\circ$. Знайдіть кути трапеції.
Розв'язок:
Проведемо діагоналі $AC$ і $BD$.
$\triangle ABD = \triangle DCA$ за двома сторонами і кутом між ними: $AB = DC$ (трапеція рівнобічна), $AD$ — спільна, $\angle BAD = \angle CDA$ (кути при основі рівнобічної трапеції). Тому $\angle ADB = \angle DAC$.
Нехай $\angle DAC = y$, тоді $\angle ADB = y$ і
$\angle BAD = 12^\circ + y$.
Трикутник $ABD$ рівнобедрений ($AB = AD$), тому $\angle ABD = \angle ADB = y$.
Сума кутів трикутника $ABD$:
$(12^\circ + y) + y + y = 180^\circ$;
$3y = 168^\circ$;
$y = 56^\circ$.
$\angle A = \angle D = 12^\circ + 56^\circ = 68^\circ$;
$\angle B = \angle C = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.
Відповідь: $68^\circ$, $112^\circ$, $112^\circ$, $68^\circ$.
2. Трапеція вписана в коло так, що діаметр кола є більшою основою трапеції, а менша основа дорівнює бічній стороні. Знайдіть периметр трапеції, якщо діаметр кола дорівнює 18 см.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — дана трапеція, $AD = 18$ см — діаметр кола, $AB = BC = CD$.
Трапеція вписана в коло, тому вона рівнобічна: $\angle A = \angle D$.
Вписаний кут $ACD$ спирається на діаметр $AD$, тому $\angle ACD = 90^\circ$.
$\angle BCA = \angle CAD$ (внутрішні різносторонні при $BC \parallel AD$ і січній $AC$), а $\angle BAC = \angle BCA$ (трикутник $ABC$ рівнобедрений, $AB = BC$). Отже, $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle D$.
У прямокутному трикутнику $ACD$:
$\frac{1}{2}\angle D + \angle D = 90^\circ$;
$\angle D = 60^\circ$, $\angle CAD = 30^\circ$.
Катет $CD$ лежить проти кута $30^\circ$:
$CD = \frac{AD}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (см).
$AB = BC = CD = 9$ см.
$P = 18 + 3 \cdot 9 = 45$ (см).
Відповідь: 45 см.