Сторінка 119
Середній рівень
1. (1 бал). $O$ – точка перетину діагоналей ромба $ABCD$, $\angle B = 70^\circ$. Знайдіть кути трикутника $BOC$.
Розв'язок:
Діагональ ромба є бісектрисою його кута:
$\angle OBC = 70^\circ : 2 = 35^\circ$.
Діагоналі ромба перпендикулярні:
$\angle BOC = 90^\circ$.
$\angle OCB = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
Відповідь: $\angle OBC = 35^\circ$, $\angle BOC = 90^\circ$,
$\angle OCB = 55^\circ$.
2. (2 бали). Периметр паралелограма дорівнює 32 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них у 3 рази більша за іншу.
Розв'язок:
Сума двох сусідніх сторін: $32 : 2 = 16$ (см).
Нехай менша сторона дорівнює $x$ см, тоді більша — $3x$ см.
$x + 3x = 16$;
$4x = 16$;
$x = 4$.
$3 \cdot 4 = 12$ (см).
Відповідь: 4 см і 12 см.
Достатній рівень
1. (1 бал). У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $B$ ділить сторону $AD$ на відрізки $AL = 7$ см і $LD = 3$ см. Знайдіть периметр паралелограма.
Розв'язок:
$\angle ABL = \angle LBC$, бо $BL$ — бісектриса.
$\angle LBC = \angle ALB$ як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та січній $BL$.
Отже, $\angle ABL = \angle ALB$, трикутник $ABL$ — рівнобедрений:
$AB = AL = 7$ см.
$AD = 7 + 3 = 10$ (см).
$P = 2 \cdot (7 + 10) = 34$ (см).
Відповідь: 34 см.
2. (2 бали). Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він на $35^\circ$ менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутник, $AD$ — більша сторона, $O$ — точка перетину діагоналей. Нехай $\angle CAD = x$, тоді кут між діагоналями, що лежить проти меншої сторони $AB$:
$\angle AOB = x + 35^\circ$.
Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл, тому $OA = OD$, і трикутник $AOD$ — рівнобедрений:
$\angle ODA = \angle OAD = x$.
$\angle AOB$ — зовнішній кут трикутника $AOD$:
$\angle AOB = x + x = 2x$.
$2x = x + 35^\circ$;
$x = 35^\circ$.
Відповідь: $35^\circ$.
Високий рівень
1. (1 бал). У ромбі висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайдіть меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 32 см.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — ромб, $\angle B$ — тупий, $BH \perp AD$, $AH = HD$. Сторона ромба:
$32 : 4 = 8$ (см).
У трикутнику $ABD$ відрізок $BH$ — і висота, і медіана, тому трикутник рівнобедрений: $AB = BD$. Оскільки $AB = AD$, трикутник $ABD$ — рівносторонній, і $\angle A = 60^\circ$, $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
У трикутнику $ABC$ найбільший кут $B$, тому $AC \gt AB = BD$. Отже, $BD$ — менша діагональ:
$BD = AB = 8$ см.
Відповідь: 8 см.
2. (2 бали). У рівнобедрений прямокутний $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписано квадрат $CPTF$ так, що прямий кут квадрата та трикутника спільний, а точка $T$ належить $AB$. Знайдіть суму катетів трикутника, якщо сторона квадрата дорівнює 3 см.
Розв'язок:
Трикутник $ABC$ рівнобедрений прямокутний, тому $\angle A = 45^\circ$. У трикутнику $APT$: $\angle APT = 90^\circ$, $\angle A = 45^\circ$, тому $\angle ATP = 45^\circ$ і
$AP = PT = 3$ см.
$AC = AP + PC = 3 + 3 = 6$ (см).
Катети рівні, тому
$AC + BC = 2 \cdot 6 = 12$ (см).
Відповідь: 12 см.