Сторінка 118
ЕК-1 [2М]. Чотирикутник, його елементи. Паралелограм та його види
Варіант 1
Середній рівень
1. (1 бал). $O$ – точка перетину діагоналей ромба $ABCD$, $\angle A = 130^\circ$. Знайдіть кути трикутника $AOD$.
Розв'язок:
Діагональ ромба є бісектрисою його кута:
$\angle OAD = 130^\circ : 2 = 65^\circ$.
Діагоналі ромба перпендикулярні:
$\angle AOD = 90^\circ$.
$\angle ODA = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$.
Відповідь: $\angle OAD = 65^\circ$, $\angle AOD = 90^\circ$,
$\angle ODA = 25^\circ$.
2. (2 бали). Периметр паралелограма дорівнює 30 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них у 4 рази більша за іншу.
Розв'язок:
Сума двох сусідніх сторін: $30 : 2 = 15$ (см).
Нехай менша сторона дорівнює $x$ см, тоді більша — $4x$ см.
$x + 4x = 15$;
$5x = 15$;
$x = 3$.
$4 \cdot 3 = 12$ (см).
Відповідь: 3 см і 12 см.
Достатній рівень
1. (1 бал). У паралелограмі $ABCD$ бісектриса кута $A$ ділить сторону $DC$ на відрізки $DK = 4$ см і $KC = 3$ см. Знайдіть периметр паралелограма.
Розв'язок:
$\angle DAK = \angle KAB$, бо $AK$ — бісектриса.
$\angle KAB = \angle DKA$ як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $DC$ і $AB$ та січній $AK$.
Отже, $\angle DAK = \angle DKA$, трикутник $ADK$ — рівнобедрений:
$AD = DK = 4$ см.
$DC = 4 + 3 = 7$ (см).
$P = 2 \cdot (4 + 7) = 22$ (см).
Відповідь: 22 см.
2. (2 бали). Знайдіть кут між меншою стороною й діагоналлю прямокутника, якщо він на $55^\circ$ менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — прямокутник, $AB$ — менша сторона, $O$ — точка перетину діагоналей. Нехай $\angle BAO = x$, тоді кут між діагоналями, що лежить проти більшої сторони $BC$:
$\angle BOC = x + 55^\circ$.
Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл, тому $OA = OB$, і трикутник $AOB$ — рівнобедрений:
$\angle ABO = \angle BAO = x$.
$\angle BOC$ — зовнішній кут трикутника $AOB$:
$\angle BOC = x + x = 2x$.
$2x = x + 55^\circ$;
$x = 55^\circ$.
Відповідь: $55^\circ$.
Високий рівень
1. (1 бал). Висота, проведена з вершини тупого кута ромба, ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює 2 см.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — ромб, $\angle B$ — тупий, $BH \perp AD$, $AH = HD$.
У трикутнику $ABD$ відрізок $BH$ — і висота, і медіана, тому трикутник рівнобедрений: $AB = BD$. Оскільки $AB = AD$, трикутник $ABD$ — рівносторонній, і $\angle A = 60^\circ$, $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
У трикутнику $ABC$ найбільший кут $B$, тому $AC \gt AB = BD$. Отже, $BD$ — менша діагональ:
$AB = BD = 2$ см.
$P = 4 \cdot 2 = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.
2. (2 бали). У рівнобедрений прямокутний $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписано квадрат $CKLM$ так, що прямий кут квадрата та трикутника спільний, а точка $L$ належить $AB$. Знайдіть сторону квадрата, якщо сума катетів трикутника дорівнює 20 см.
Розв'язок:
Катети рівні: $AC = BC = 20 : 2 = 10$ (см).
Нехай сторона квадрата дорівнює $a$ см. Трикутник $ABC$ рівнобедрений прямокутний, тому $\angle A = 45^\circ$. У трикутнику $AKL$: $\angle AKL = 90^\circ$, $\angle A = 45^\circ$, тому $\angle ALK = 45^\circ$ і
$AK = KL = a$.
$AC = AK + KC = a + a = 2a$;
$2a = 10$;
$a = 5$.
Відповідь: 5 см.