Сторінка 107
1. (1 бал). Накресліть чотирикутник $CDPF$ та проведіть його діагоналі.
Розв'язок:
Діагоналі чотирикутника $CDPF$ — відрізки $CP$ і $DF$.
2. (1 бал). Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них дорівнює $130^\circ$.
Розв'язок:
Протилежні кути паралелограма рівні, а сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^\circ$:
$180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$.
3. (1 бал). Знайдіть периметр квадрата, якщо його сторона дорівнює 9 см.
Розв'язок:
$P = 4 \cdot 9 = 36$ (см).
Відповідь: 36 см.
4. (1 бал). Периметр прямокутника дорівнює 14 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 3 см більша за другу.
Розв'язок:
Сума двох сусідніх сторін: $14 : 2 = 7$ (см).
Нехай менша сторона дорівнює $x$ см, тоді більша — $(x + 3)$ см.
$x + x + 3 = 7$;
$2x = 4$;
$x = 2$.
$2 + 3 = 5$ (см).
Відповідь: 2 см і 5 см.
5. (1 бал). Дано: $ABCD$ – ромб, $\angle BDC = 75^\circ$. Знайдіть кути ромба.
Розв'язок:
Діагональ ромба є бісектрисою його кута, тому
$\angle ADC = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.
$\angle DAB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
$\angle B = \angle D = 150^\circ$, $\angle A = \angle C = 30^\circ$.
Відповідь: $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$.
6. (1 бал). На малюнку $\angle CLQ = \angle LQT$, $\angle LQC = \angle QLT$. Доведіть, що $CLTQ$ – паралелограм.
Доведення:
$\angle CLQ$ і $\angle LQT$ — внутрішні різносторонні кути при прямих $CL$ і $QT$ та січній $LQ$. Вони рівні, тому $CL \parallel QT$.
$\angle LQC$ і $\angle QLT$ — внутрішні різносторонні кути при прямих $CQ$ і $LT$ та січній $LQ$. Вони рівні, тому $CQ \parallel LT$.
У чотирикутнику $CLTQ$ протилежні сторони попарно паралельні, тому $CLTQ$ — паралелограм.
7. (2 бали). Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 3, 9. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
Розв'язок:
Нехай кути чотирикутника дорівнюють $x$, $2x$, $3x$, $9x$. Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$:
$x + 2x + 3x + 9x = 360^\circ$;
$15x = 360^\circ$;
$x = 24^\circ$.
Кути: $24^\circ$, $2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$,
$3 \cdot 24^\circ = 72^\circ$, $9 \cdot 24^\circ = 216^\circ$.
Один з кутів більший за $180^\circ$, тому чотирикутник неопуклий.
Відповідь: $24^\circ$, $48^\circ$, $72^\circ$, $216^\circ$; неопуклий.
8. (2 бали). Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють кут $50^\circ$. Знайдіть кути ромба.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — ромб, $\angle B$ — тупий, $BK \perp AD$, $BM \perp CD$, $\angle KBM = 50^\circ$.
У чотирикутнику $BKDM$: $\angle K = \angle M = 90^\circ$, тому
$\angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ =$
$= 130^\circ$.
$\angle B = \angle D = 130^\circ$;
$\angle A = \angle C = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$.
9. (2 бали). Бісектриса кута $N$ паралелограма $MNKL$ ділить сторону $KL$ на два відрізки $KB$ і $BL$ так, що $KB : BL = 7 : 2$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 96 см.
Розв'язок:
$\angle KBN = \angle BNM$ (внутрішні різносторонні при $KL \parallel MN$ і січній $NB$), а $\angle BNM = \angle KNB$ ($NB$ — бісектриса). Отже, $\angle KBN = \angle KNB$, і трикутник $NKB$ — рівнобедрений: $NK = KB$.
Нехай $KB = 7x$ см, $BL = 2x$ см, тоді
$NK = 7x$ см, $KL = 9x$ см.
$2 \cdot (7x + 9x) = 96$;
$32x = 96$;
$x = 3$.
$NK = LM = 7 \cdot 3 = 21$ (см);
$KL = MN = 9 \cdot 3 = 27$ (см).
Відповідь: 27 см, 21 см, 27 см, 21 см.