Сторінка 106
ДР-1 [2М]. Чотирикутник, його елементи. Паралелограм та його види
Варіант 1
1. (1 бал). Накресліть чотирикутник $PMFC$ та проведіть його діагоналі.
Розв'язок:
Діагоналі чотирикутника $PMFC$ — відрізки $PF$ і $MC$.
2. (1 бал). Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них дорівнює $70^\circ$.
Розв'язок:
Протилежні кути паралелограма рівні, а сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^\circ$:
$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Відповідь: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.
3. (1 бал). Знайдіть периметр квадрата, якщо його сторона дорівнює 6 дм.
Розв'язок:
$P = 4 \cdot 6 = 24$ (дм).
Відповідь: 24 дм.
4. (1 бал). Периметр прямокутника дорівнює 22 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 3 см менша від другої.
Розв'язок:
Сума двох сусідніх сторін: $22 : 2 = 11$ (см).
Нехай більша сторона дорівнює $x$ см, тоді менша — $(x - 3)$ см.
$x + x - 3 = 11$;
$2x = 14$;
$x = 7$.
$7 - 3 = 4$ (см).
Відповідь: 7 см і 4 см.
5. (1 бал). Дано: $ABCD$ – ромб, $\angle DBA = 15^\circ$. Знайдіть кути ромба.
Розв'язок:
Діагональ ромба є бісектрисою його кута, тому
$\angle ABC = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$.
$\angle BAD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
$\angle B = \angle D = 30^\circ$, $\angle A = \angle C = 150^\circ$.
Відповідь: $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$.
6. (1 бал). На малюнку $PF = TK$, $\angle KPF = \angle PKT$. Доведіть, що $TPFK$ – паралелограм.
Доведення:
$\angle KPF$ і $\angle PKT$ — внутрішні різносторонні кути при прямих $PF$ і $TK$ та січній $PK$. Вони рівні, тому $PF \parallel TK$.
У чотирикутнику $TPFK$ протилежні сторони $PF$ і $TK$ паралельні й рівні, тому $TPFK$ — паралелограм.
7. (2 бали). Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 4, 7, 8. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
Розв'язок:
Нехай кути чотирикутника дорівнюють $x$, $4x$, $7x$, $8x$. Сума кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$:
$x + 4x + 7x + 8x = 360^\circ$;
$20x = 360^\circ$;
$x = 18^\circ$.
Кути: $18^\circ$, $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$,
$7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$, $8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$.
Усі кути менші від $180^\circ$, тому чотирикутник опуклий.
Відповідь: $18^\circ$, $72^\circ$, $126^\circ$, $144^\circ$; опуклий.
8. (2 бали). Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють кут $140^\circ$. Знайдіть кути ромба.
Розв'язок:
Нехай $ABCD$ — ромб, $\angle A$ — гострий, $AK \perp BC$, $AM \perp CD$, $\angle KAM = 140^\circ$. Кути $B$ і $D$ тупі, тому основи висот $K$ і $M$ лежать на продовженнях сторін $CB$ і $CD$.
У чотирикутнику $AKCM$: $\angle K = \angle M = 90^\circ$, тому
$\angle C = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 140^\circ =$
$= 40^\circ$.
$\angle A = \angle C = 40^\circ$;
$\angle B = \angle D = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
Відповідь: $40^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$, $140^\circ$.
9. (2 бали). Бісектриса кута $M$ паралелограма $MNKL$ ділить сторону $NK$ на два відрізки $NA$ і $AK$ так, що $NA : AK = 3 : 5$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 44 см.
Розв'язок:
$\angle NAM = \angle AML$ (внутрішні різносторонні при $NK \parallel ML$ і січній $MA$), а $\angle AML = \angle NMA$ ($MA$ — бісектриса). Отже, $\angle NAM = \angle NMA$, і трикутник $MNA$ — рівнобедрений: $MN = NA$.
Нехай $NA = 3x$ см, $AK = 5x$ см, тоді
$MN = 3x$ см, $NK = 8x$ см.
$2 \cdot (3x + 8x) = 44$;
$22x = 44$;
$x = 2$.
$MN = KL = 3 \cdot 2 = 6$ (см);
$NK = ML = 8 \cdot 2 = 16$ (см).
Відповідь: 6 см, 16 см, 6 см, 16 см.