№ 37 ЗПС Геометрія = № 37 ЗПС Математика
У трикутнику ABC h1, h2, h3 – висоти, проведені відповідно до сторін AB, BC і CA, а d1, d2, d3 – відстані від довільної точки P, що міститься всередині цього трикутника, до сторін AB, BC і CA відповідно. Доведіть, що $\frac{d_1}{h_1} + \frac{d_2}{h_2} + \frac{d_3}{h_3} = 1. $
Розв'язок:
$S_{\triangle ABC}\ =\ \frac{1}{2}AB\ \cdot\ h_1=$
$= \ \frac{1}{2}BC\ \cdot\ h_2\ =\ \frac{1}{2}AC\ \cdot\ h_3.$
$S_{\triangle ABC}\ =S_{\triangle APB} + S_{\triangle BPC} +$
$+ S_{\triangle APC} =\ \frac{1}{2}AB\ \cdot\ d_1\ + $
$+ \ \frac{1}{2}\ BC\ \cdot\ d_2\ +\ \frac{1}{2}\ AC\ \cdot\ d_3.$
Враховуючи ці рівності, маємо:
$1\ = \frac{AB ⋅ d_1 + BC ⋅ d_2 + AC ⋅ d_3}{2} =$
$= \frac{AB ⋅ d_1}{2S}+\frac{BC ⋅ d_2}{2S}+\frac{AC ⋅ d_3}{2S}=$
$= \frac{AB ⋅ d_1}{AB ⋅ h_1}+\frac{BC ⋅ d_2}{BC ⋅ h_2}+\frac{AC ⋅ d_3}{AC ⋅ h_3}= $
$= \frac{d_1}{h_1}+\frac{d_2}{h_2}+\frac{d_3}{h_3}.$