№ 29 ЗПС Геометрія = № 29 ЗПС Математика
Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза, h – висота, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник зі сторонами h, c + h, a + b – прямокутний.
Розв'язок:
(c + h)2 − (a + b)2 =
= c2 + 2ch + h2 − a2 − 2ab − b2.
За теоремою Піфагора c2 = a2 + b2.
Маємо (c + h)2 − (a + b)2 =
= a2 + b2 + 2ch + h2 − a2 −
− 2ab − b2 = 2ch + h2 − 2ab.
Висота h відтинає від даного трикутника прямокутний трикутник з гіпотенузою a і катетом h; він подібний даному (спільний гострий кут), тому h : a = b : c, звідки ab = ch.
Отже, (c + h)2 − (a + b)2 = h2,
звідки (c + h)2 = h2 + (a + b)2.
За оберненою теоремою Піфагора це означає, що трикутник прямокутний, c + h — його гіпотенуза,
h і a + b — катети.