№ 15 ЗПС Геометрія = № 15 ЗПС Математика
Основи трапеції дорівнюють a і b (a > b), а сума кутів, прилеглих до більшої основи, дорівнює 90°. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.
Розв'язок:
Продовжимо бічні сторони трапеції до їх перетину в точці $P.$
За умовою в трикутнику $△APD\ ∠A + ∠D = 90°,$
тому $∠P = 90°.$
$PM$ — медіана, проведена з вершини прямого кута, $PK$ — медіана $△BPC,$ де $M$ і $K$ — середини $AD$ і $BC.$
$PM\ =\ \frac{1}{2}AD\ =\ AM\ =$
$= MD\ =\ \frac{a}{2}.$
$△APM$ — рівнобедрений $(PM = AM),$ тому $∠MPA = ∠PAM.$
Аналогічно $PK$ — медіана прямокутного $△BPC\ (∠P = 90°),$ тому $PK = BK = KC = \frac{b}{2}$ і $∠KPB = ∠PBK.$ Але $∠PBK = ∠PAM$ (відповідні при $BC ∥ AD$ і січній $AP$), тому $∠KPB = ∠MPA,$ тобто промені $PK$ і $PM$ збігаються: точка $K$ лежить на відрізку $PM,$ причому $PK = \frac{b}{2} < \frac{a}{2} = PM.$
$KM = PM − PK = \frac{a}{2} − \frac{b}{2} = \frac{a – b}{2}.$
Відповідь:
$\ \frac{a– b}{2}.$