Завдання № 25.21

№ 25.21 Геометрія =  № 48.21 Математика

У прямокутній трапеції менша бічна сторона дорівнює 4 см й утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Гострий кут трапеції також дорівнює 45°. Знайдіть площу трапеції.  

Розв'язок:

$ABCD$ — трапеція, $AD ∥ BC, AB = 4$ см,

$∠A = ∠B = 90°, $

$∠BCA = 45°, ∠D = 45°.$

$ΔABC$ — рівнобедрений,

$AB = CB = 4$ см

$(∠A = 45°, $

$∠B = 90° − 45° = 45°).$

$∠BCA = ∠CAD = 45°$ (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих $BC$ і $AD$ і січній $AC$).

Тоді $∠ACD = 90°. $

$ΔACD$ — рівнобедрений,

$AC = CD.$

З $ΔABC\ AC = \frac{AB}{sin 45°} =$

$= \frac{4 · 2}{\sqrt2} = \frac{8}{\sqrt2}$ (см).

$CD\ =\ AC\ =\ \frac{8}{\sqrt2}$ см.

$S_{ABCD} = S_{\Delta ABC} + S_{\Delta ACD} =$

$= \frac{1}{2}\ AB\ · BC + \frac{1}{2} AC · CD = $

$= \frac{1}{2} · 4 · 4 + \frac{1}{2} · \frac{8}{\sqrt2} · \frac{8}{\sqrt2} =$

$=  8 + 16 = 24$ (см²).

Відповідь:

$24$ см².