№ 20.13 Геометрія = № 39.13 Математика
За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути з точністю до хвилини:
1. $AB = 6$ см; $AC = 3\sqrt3$ см;
2. $AB = 65$ дм; $AC = 16$ дм;
3. $AB = 7$ см; $AC = 4$ см;
4. $AB = 13a$ см; $AC = 5a$ см.
Розв'язок:
1. $BC = \sqrt{AB^2-AC^2} =$
$= \sqrt{6^2 – (3\sqrt3)^2} = $
$= \sqrt{36 – 27} = \sqrt9 = 3$ (см).
$sin\ \angle B\ =\ \frac{AC}{AB}\ =\ \frac{3\sqrt3}{2};$
$\ \angle B\ =\ 60°.$
$∠A = 90° – ∠B = $
$= 90° – 60° = 30°.$
2. $AC = \sqrt{AB^2-AC^2} = $
$= \sqrt{65^2-16^2} = $
$= \sqrt{(65 – 16)(65 + 16)} = $
$ = \sqrt{49 · 81} = 7 · 9 = 63$ (дм).
$sin\ \angle A\ =\ \frac{BC}{AB}\ =\ \frac{16}{65}\ ≈$
$≈ 0{,}2462;$
$ \angle A\ \approx\ 14°15'.$
$∠B = 90° – ∠A =$
$= 90° – 14°15' = 75°45'.$
3. $BC = \sqrt{AB^2-AC^2}=$
$= \sqrt{7^2-4^2} = \sqrt{49-16} = $
$= \sqrt{33} ≈ 5{,}74$ (cм).
$sinB = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{7};$
$∠B ≈ 34°51’.$
$∠A = 90° – ∠B = 55°9’.$
4. $AC = \sqrt{AB^2-AC^2} = $
$= \sqrt{(13a)^2 – (5a)^2} = $
$= \sqrt{169a^2 – 25a^2} = $
$= \sqrt{144a^2} = 12a$ (см).
$sin\ \angle A\ =\ \frac{BC}{AB}\ =\ \frac{5a}{13a}\ ≈$
$≈ 0{,}3846;$
$\angle A\ \approx\ 22°37'.$
$∠B = 90° – ∠A = $
$= 90° – 22°37' = 67°23'.$
Відповідь:
1. $3$ см, $60°, 30°;$
2. $63$ дм, $14°15', 75°45';$
3. $5{,}74$ см, $34°51’, 55°9’;$
4. $12a$ см, $22°37', 67°23'.$