№ 19.41 Геометрія = № 38.41 Математика
У трикутнику одна зі сторін дорівнює 8 см, а прилеглі до неї кути – 60° і 45°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.
Розв'язок:
У $ΔABC ∠A = 60°, ∠C = 45°,$
$ BD ⊥ AC, AC = 8$ см.
У $ΔBDC\ ∠CBD =$
$= 90° − ∠C =$
$= 90° − 45° = 45°,$
тоді $BD = CD.$
Нехай $CD = x$ см,
тоді $AD = (8 − x)$ см.
З $ΔABD\ BD = AD\ tg ∠A =$
$= (8 − x)\ tg\ 60° = (8 − x)\sqrt3$ (см).
З $ΔBCD\ BD = CD = x$ см.
Отже, $(8 − x)\sqrt3 = x.$
$8\sqrt3 − \sqrt3x = x;$
$x + \sqrt3x = 8\sqrt3;$
$x(1 + \sqrt3) = 8\sqrt3;$
$x\ =\ \frac{8\sqrt3}{1\ +\ \sqrt3};$
$x\ =\ \frac{8\sqrt3\ (\sqrt3\ -\ 1)}{(1\ +\ \sqrt3)(\sqrt3\ -\ 1)\ }\ =$
$= \ \frac{8\sqrt3\ (\sqrt3\ -\ 1)}{3\ -\ 1\ }\ =$
$= 4\sqrt3\ (\sqrt3\ -\ 1).$
Отже, $BD = 4\sqrt3 (\sqrt3 − 1)$ см.
Відповідь:
$4\sqrt3 (\sqrt3 − 1)$ см.