№ 19.39 Геометрія = № 38.39 Математика
Гострий кут паралелограма дорівнює 60°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 3. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 24 см.
Розв'язок:
$ABCD$ — паралелограм, $∠A = ∠C = 60°, BD$ — діагональ.
$∠CBD : ∠ABD = 1 : 3.$
$∠ABC = 180° − ∠A =$
$= 180° − 60° = 120°.$
$∠CBD = x, ∠ABD = 3x.$
$x + 3x = 120; $
$4x = 120;$
$x = 30.$
Отже, $∠CBD = 30°, ∠ABD =$
$= 3 · 30° = 90°.$
У $ΔABD ∠ADB = 90° − 60° =$
$= 30°.$
Тоді $AB = \frac{1}{2} AD,$ як катет, що лежить проти кута $30°.$
$P_{ABCD} = 2(AB + AD) = $
$= 2(AB + 2AB) = 6AB.$
За умовою $6AB = 24 см; AB = 4$ см.
З $ΔABD\ BD = AB · tg ∠A =$
$= 4 · tg 60° = 4\sqrt3$ (см).
Відповідь:
$4\sqrt3$ см.