№ 18.20 Геометрія = № 37.20 Математика
3 точки до прямої проведено дві похилі, різниця яких дорівнює 2 см. Знайдіть ці похилі та відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 1 см і 5 см.
Розв'язок:
$AB$ і $AC$ — похилі,
$AC > AB, AC − AB = 2$ см.
$AK ⊥ m$ — відстань від точки $A$ до прямої $m.$
$BK = 1$ см — проекція $AB,$
$KC = 5$ см — проекція $AC.$
Нехай $AB = x$ см,
тоді $AC = (x + 2)$ см.
З $ΔABK\ AK^2 = AB^2 − BK^2 =$
$= x^2 − 1^2 = x^2 − 1.$
З $ΔACK\ AK^2 =$
$= AC^2 − CK^2 =$
$= (x + 2)^2 − 5^2 =$
$= x^2 + 4x + 4 − 25 =$
$= x^2 + 4x − 21.$
Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні:
$x^2 − 1 = x^2 + 4x − 21;$
$4x = 20;$
$x = 5.$
$AB = 5 см, AC = 5 + 2 = 7$ (см).
$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} =$
$= \sqrt{5^2 - 1^2} = \sqrt{25\ -\ 1} =$
$= \sqrt{24} = 2\sqrt6$ (см).
Відповідь:
$5$ см, $7$ см, $2\sqrt6$ см.