№ 13.52 Геометрія = № 25.52 Математика
Чи можуть бісектриса й медіана, що виходять з вершини прямого кута трикутника, утворювати рівнобедрений трикутник? Якщо так, то знайдіть менший з гострих кутів прямокутного трикутника.
Розв'язок:
У ∆ABC (∠C = 90°) CM — медіана, CL — бісектриса.
Оскільки CM = MB = AM, то CM ≠ CL.
Отже, у ∆CML CL = ML.
Тоді ∠CML = ∠MCL = α.
∠CLB = 2α як зовнішній.
У ∆CAL ∠ACL = 45°,
∠A = ∠ACM = 45° − α.
У ∆ABC ∠B = 90° − ∠A =
= 90° − (45° − α) = 45° + α.
У ∆CLB ∠LCB + ∠CLB + ∠B =
= 180°;
45° + 2α + 45° + α = 180°;
3α = 90°;
α = 30°.
Тоді ∠A = 45° − 30° = 15°.
Відповідь:
так, 15°.