Завдання № 12.12

№ 12.12 Геометрія = № 24.12 Математика

Периметри подібних трикутників відносяться як 2 : 3, а сума їх найбільших сторін дорівнює 20 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 2 : 3 : 4.

Відомо, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін.

Нехай ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.
Оскільки за умовою
AB : BC : AC = 2 : 3 : 4,
то і A₁B₁ : B₁C₁ : A₁C₁ = 2 : 3 : 4.
Позначимо AB = 2x, BC = 3x, AC = 4x.

$\frac{P∆ABC}{P∆A_1B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{2}{3}.$

тоді $\frac{4x}{A_1C_1}=\frac{2}{3};$

A₁C₁ = $\frac{4x·3}{2} = 6x.$

За умовою AC + A₁C₁ = 20 см;

$4x + 6x = 20;$

$10x = 20; $

$x = 2.$

AB = 2 · 2 = 4 (см);

BC = 3 · 2 = 6 (см);

AC = 4 · 2 = 8 (см).

$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{3};$

$\frac{4}{A_1B_1}=\frac{2}{3};$

A1B1 = $\frac{4·3}{2}= 6$ (см);

$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{2}{3};$

$\frac{6}{B_1C_1}=\frac{2}{3};$

B₁C₁ = $\frac{6·3}{2}= 9$ (см).

A₁C₁ = 6 · 2 = 12 (см).

4 см, 6 см, 8 см і 6 см, 9 см, 12 см.