№ 1.25 Геометрія = № 5.25 Математика
Опуклий чотирикутник називають дельтоїдом, якщо він має дві пари рівних сусідніх сторін. Доведіть, що:
1. діагональ BD ділить навпіл і кут B, і кут D;
2. діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.
Розв'язок:
AB = BC; AD = DC (за умовою), BD — спільна сторона трикутників ABD і CBD.
Тому ΔABD = ΔCBD (за третьою ознакою).
1. Оскільки ΔABD = ΔCBD, то ∠ABD = ∠CBD і ∠ADB = ∠CDB.
Отже, діагональ BD ділить навпіл як кут B, так і кут D.
2. Нехай O — точка перетину діагоналей AC і BD. За п. 1 BO — бісектриса рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC), проведена до основи AC. Тому BO є також і висотою.
Отже, BO ⊥ AC, а тому BD ⊥ AC, тобто діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.