(2009 р.) У трапеції ABCD: ∠A = 90°, AB = 12 см (див. мал.). Діагональ BD ділить середню лінію KL трапеції на відрізки KM і ML, причому KM = 5,5 см і ML = 3 см. Обчисліть периметр трапеції ABCD (у см).
Розв'язок:
Середня лінія трапеції:
$KL=\frac{AD+BC}{2},$
$KL=KM+ML=5{,}5+3=$
$= 8{,}5\Rightarrow AD+BC=17$ см
$△ABD ⁓ △KBM$ (за двома кутами), тому:
$\frac{AB}{KB}=\frac{AD}{KM}\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot K M}{KB}=$
$= \frac{12\cdot5,5}{6}=11$ см
$BC=17-AD=17-11=6$ см
З точки C опустимо висоту на $AD.$ Отримаємо прямокутний трикутник зі сторонами $AB = 12$ см, $AD − BC = 11 − 6 = 5$ см та $CD.$ За теоремою Піфагора:
$CD=\sqrt{{12}^2+5^2}=$
$= \sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ см
$P=AB+BC+CD+AD=$
$= 12+6+13+11=42$ см
Відповідь:
42 см.