ЗНО №5 Геометрія = ЗНО №5 Математика
(2013 р.) У трикутник ABC вписано квадрат KLMN (див. мал.). Висота цього трикутника, проведена до сторони AC, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата (у см), якщо AC = 10 см.
Розв'язок:
1. BD — висота трикутника $ABC; BD = 6$ см, $AC = 10$ см.
2. Позначимо сторону квадрата: $KN = KL = x; BF = y.$ Тоді $FD = x$ і $x + y = 6.$
3. $△KBL ⁓ △ABC$ (за двома кутами), тому $KL : AC = KB : AB.$ $△KBF ⁓ △ABD$ ($∠B$ — спільний, $∠BKF = ∠BAD$ — відповідні кути при $KL ∥ AC$ і січній $AB$), тому $KB : AB = BF : BD.$ Отже:
$\frac{KL}{AC}=\frac{BF}{BD} \Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{6} \Rightarrow$
$\Rightarrow y=0{,}6x$
4. Складаємо систему:
$\ \begin{cases}
x + y = 6, \\
y=0{,}6x;\ \end{cases}$
Підставляємо: $0{,}6x+x=6 \Rightarrow 1{,}6x=$
$= 6 \Rightarrow x=3{,}75$ (см).
5. Периметр квадрата:
$P=4\cdot x=4\cdot3{,}75=15$ (см)
Відповідь:
15 см.