(2014 р.) Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки 13 см і 23 см завдовжки. Обчисліть (у см2) площу трапеції.
Розв'язок:
1. Знайдемо основи трапеції.
Згідно властивість середньої лінії трапеції:
$MN=\frac{BC}{2}, NK=\frac{AD}{2}$
$BC\ =\ 2\ \cdot13\ =\ 26$ см, $AD = 2 ⋅23 = 46$ см
2. Знайдемо бічні сторони трапеції.
Бісектриса ділить кут навпіл:
$\angle BAC\ =\ \angle CAD$
$\angle CAD\ =\ \angle BCA$ (як внутрішні різносторонні)
$⇒ \triangle ABC$ — рівнобедрений $⇒ AB = BC = 26$ см
3. Знайдемо висоту трапеції $BP:$
$AP=\frac{AD-BC}{2}=\frac{46-26}{2}=10$ см
У прямокутному $\triangle ABP$ (теорема Піфагора):
$BP=\sqrt{{26}^2-{10}^2}=24$ см
4. Площа трапеції:
$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BP=$
$= \frac{46+26}{2}\cdot24=864$ см2.
Відповідь:
864 см2.