№ 8 ЗПС Алгебра = № 8 ЗПС Математика
Доведіть, що коли x + y = 1, то
Доведіть, що коли для чисел $x, y, z, m, n, p$ справджуються рівності $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1$ і $\frac{m}{x} + \frac{n}{y} + \frac{p}{z} = 0,$ то для них справджується і рівність $\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} + \frac{z^2}{p^2} = 1.$
Розв'язок:
Піднесемо рівність $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$ до квадрата:
$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}+\frac{z^2}{p^2}+2\frac{xy}{mn}+$
$+ 2\frac{yz}{np}+2\frac{xz}{mp}=1;$
$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}+\frac{z^2}{p^2}+$
$+ 2\cdot\frac{xyp+myz+nzx}{mnp}=1.$
З рівності $\frac{m}{x}+\frac{n}{y}+\frac{p}{z}=0$
маємо $\frac{myz+nxz+pxy}{xyz}=0.$
Звідси $myz+nxz+xyp=0.$
Отже, $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}+\frac{z^2}{p^2}=1,$
що й треба було довести.