№ 36 ЗПС Алгебра = № 36 ЗПС Математика
Доведіть, що коли a, b і c – сторони трикутника, то рівняння $b^2x^2 + (b^2 + c^2 – a^2)x +$
$+ c^2 = 0$ не має коренів.
Розв'язок:
$b^2x^2+\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2=0;$
$D=\left(b^2+c^2+a^2\right)^2-4b^2c^2=$
$= \left(b^2+c^2-a^2-2bc\right)\cdot$
$\cdot\left(b^2+c^2-a^2+2bc\right)=$
$= ((b^2-2bc+c^2)-a^2)\cdot$
$\cdot((b^2+2bc+c^2)-a^2)=$
$= \left((b-c)^2-a^2\right)\cdot$
$\cdot\left((b+c)^2-a^2\right)=$
$= \left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\cdot$
$\cdot\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)=$
$= \left(b-\left(c+a\right)\right)\left(\left(a+b\right)-c\right)\cdot$
$\cdot\left(\left(a+b\right)-a\right)\left(b+c+a\right).$
Оскільки $a,b$ і $c-$ сторони трикутника, то
$b-\left(c+a\right)<0,\left(a+b\right)-c>0,$
$\left(b+c\right)-a>0, b+c+a>0.$
Отже, $D<0,$ тому рівняння
$b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=$
$= 0$ не має коренів.