№ 35 ЗПС Алгебра = № 35 ЗПС Математика
Нехай $x^1$ і $x^2$ – корені рівняння $2x^2 + 7x – 1 = 0.$ Складіть квадрат не рівняння, коренями якого є числа:
1. $\frac{1}{x_1}$ і $\frac{1}{x_2};$
2. $\frac{x_1}{x_2}-3$ і $\frac{x_2}{x_1}-3;$
3. $x_1x_2^3+x_2x_1^3.$
Розв'язок:
$D=49+8=57>0;$
$x^2+\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}=0;$
1. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}= \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}}=7;$
$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1\cdot x_2}=$
$=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2.$
2. $\frac{x_1}{x_2}-3+\frac{x_2}{x_1}-3=$
$=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}-6=$
$= \frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}-6=$
$= \frac{\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}-6=$
$= \frac{\frac{49}{4}+1}{-\frac{1}{2}}-6= \frac{\frac{53}{4}}{-\frac{1}{2}}-6=$
$= -\frac{53}{2}-6=-\frac{65}{2};$
$\left(\frac{x_1}{x_2}-3\right)\left(\frac{x_2}{x_1}-3\right)=$
$= 1-3\frac{x_1}{x_2}-3\frac{x_2}{x_1}+9=$
$= 10-3\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)=$
$= 10-3\cdot\frac{x_1^2+x_2^2}{x_2x_1}=$
$= 10-3\cdot\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=$
$= 10-3\cdot\frac{\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=$
$= 10-3\cdot\frac{\frac{49}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=$
$= 10+3\cdot\frac{53}{2}=10+\frac{159}{2}=$
$= \frac{20+159}{2}=\frac{179}{2}.$
Отже, $x^2+65x+179=0;$
3. $x_1x_2^3+x_2x_1^3=$
$= x_1x_2\left(x_2^2+x_1^2\right)=$
$= x_1x_2((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=$
$= -\frac{1}{2}\cdot\left(\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=$
$= -\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{49}{4}+1\right)=-\frac{53}{8};$
$x_1x_2^3\cdot x_2x_1^3=\left(x_1x_2\right)^4=$
$= \left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}.$
Отже, $\left.x^2+\frac{53}{8}x+\frac{1}{16}=0\right|\ \cdot16;$
Відповідь:
1. $x^2-7x-2=0.$
2. $2x^2+65x+179=0.$
3. $16x^2+106x+1=0.$