ВПР 3 №55 Алгебра = ВПТ 11 №23 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\frac{x^2-13}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-13}=2{,}5;$
2. $\frac{x^2+3x}{1-x}+\frac{5x-5}{3x+x^2}=4.$
Розв'язок:
1. $\frac{x^2-13}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-13}=2{,}5.$
Нехай $\frac{x+1}{x^2-13}=t,$
тоді $\frac{x+1}{x^2-13}=\frac{1}{t};t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2};$
$\frac{t^2+1}{t}=\frac{5}{2};$
$\left\{\begin{matrix}2\left(t^2+1\right)=5t,\\t\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$2t^2-5t+2=0;$
$D=(-5)^2-4·2·2=$
$= 25-16=9;$
$t_1=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2;$
$t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$
$\left[\begin{matrix}\frac{x^2-13}{x+1}=2,\\\frac{x^2-13}{x+1}=\frac{1}{2};\\\end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x^2-13=2\left(x+1\right),\\2\left(x^2-13\right)=x+1;\\\end{matrix}\right.\\\begin{matrix}x\neq-1\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix}x^2-2x-15=0,\\2x^2-x-27=0;\\\end{matrix}\right.$
1) $x^2-2x-15=0;$
$x_1=5;x_2=-3;$
2) $2x^2-x-27=0;$
$ D=(-1)^2-4·2·(-27)=$
$= 1+216=217;$
$x=\frac{1\pm\sqrt{217}}{4}.$
2. $\frac{x^2+3x}{1-x}+\frac{5x-5}{3x+x^2}=4;$
$\frac{x^2+3x}{1-x}-\frac{5(1-x)}{x^2+3x}=4.$
Нехай $\frac{x^2+3x}{1-x}=t,$
тоді $\frac{1-x}{x^2+3x}=\frac{1}{t};$
$t-\frac{5}{t}=4; \frac{t^2-5}{t}=\frac{4}{1};$
$t^2-4t-5=0;$
$t_1=5;t_2=-1;$
$\left[\begin{matrix}\frac{x^2+3x}{1-x}=5,\\\frac{x^2+3x}{1-x}=-1;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x^2+3x=5(1-x),\\x^2+3x=x-1,\\\end{matrix}\right.\\\begin{matrix}x≠1;\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x^2+8x-5=0,\\x^2+2x+1=0,\\\end{matrix}\right.\\\begin{matrix}x≠1;\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right.$
1) $x^2+8x-5=0;$
$D=8^2-4·1·(-5)=$
$= 64+20=84;$
$x=\frac{-8\pm\sqrt{84}}{2}=\frac{-8\pm2\sqrt{21}}{2}=$
$= \frac{2(-4\pm\sqrt{21})}{2}=-4\pm\sqrt{21};$
2) $x^2+2x+1=0;$
$(x+1)^2=0;$
$x+1=0; x=-1;$
Відповідь:
1. $-3;5;\frac{1\pm\sqrt{217}}{4};$
2. $-1;-4\pm\sqrt{21}.$