ВПР 3 №24 Алгебра = ВПТ 9 №24 Математика
Для яких значень a сума коренів рівняння $x^2 – 2ax + (2a – 1) = 0$ дорівнює сумі квадратів його коренів?
Розв'язок:
$x^2-2ax+(2a-1)=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=2a,\\x_1x_2=2a-1.\\\end{matrix}\right.$
Звідки: $\left(x_1+x_2\right)^2=4a^2;$
$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=4a^2;$
$x_1^2+x_2^2=x_1+x_2;$
$D=4a^2-4(2a-1)=$
$= 4a^2-8a+4=$
$= 4\left(a^2-2a+\right.1)=$
$= 4(a-1)^2\geq0;$
$\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-2x_1x_2=x_1+x_2;$
$\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=x_1+x_2;$
$(2a)^2-2·(2a-1)=2a;$
$4a2-4a-2a+2=0;$
$4a^2-6a+2=0;$
$2a^2-3a+1=0;$
$D=(-3)^2-4·2·1=$
$= 9-8=1;$
$a_1=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1;$
$a_2=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$
Відповідь:
$\frac{1}{2};1.$