№ 25.9 Алгебра = № 50.9 Математика
Знайдіть корені рівняння:
1. $\frac{x-3}{x}=\frac{8}{x+3};$
2. $\frac{2x-3}{x+2}=\frac{x}{x+6};$
3. $\frac{10}{x-3}=x;$
4. $\frac{8}{x}=3x+2.$
Розв'язок:
1. $\frac{x-3}{x}=\frac{8}{x+3};$
$\left\{\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x+3\right)=8x,\\x\neq0,\\x+3\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-9-8x=0,\\x\neq0,\\x\neq-3;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-8x-9=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=8,\\x_1x_2=-9.\\\end{matrix}\right.$
Звідки $\begin{matrix}x_1=9,\\x_2=-1.\\\end{matrix}$
Тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=9,\\x_2=-1,\\x\neq0,x\neq-3.\\\end{matrix}\right.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=7,\\x_1x_2=-18\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=9,\\x_2=-2.\\\end{matrix}\right.$
Тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=9,x_2=-2,\\x\neq-2,x\neq6\\\end{matrix}\Rightarrow\right.$
корінь $x=9.$
3. $\frac{10}{x-3}=x;$
$\left\{\begin{matrix}10=x(x-3),\\x-3\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}x^2-3x-10=0,\\x\neq3.\\\end{matrix}\right.$
$ x^2-3x-10=0.$
За теоремою Вієта маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=3,\\x_1x_2=-10\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=5,\\x_2=-2.\\\end{matrix}\right.$
Тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=5,\\x_2=-2,\\x\neq3.\\\end{matrix}\right.$
4. $\frac{8}{x}=3x+2;$
$\left\{\begin{matrix}8=(3x+2)x,\\x\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}3x^2+2x-8=0,\\x\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$3x^2+2x-8=0;$
$D=2^2-4·3·(-8)=$
$= 4+96= 100=102;$
$D>0;$
$x_1=\frac{-2+10}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3};$
$x_2=\frac{-2-10}{6}=-2.$
Тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{4}{3},x_2=-2,\\x\neq0.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $9; –1;$
2. $9;$
3. $–2; 5;$
4. $–2; 1\frac{1}{3}.$