№ 25.8 Алгебра = № 50.8 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\frac{x^2}{x-2}=\frac{3x}{x-2};$
2. $\frac{x^2}{x+3}=\frac{9}{x+3};$
3. $\frac{3x^2}{1-x}=\frac{x-14}{x-1};$
4. $\frac{x^2-3}{x-2}=\frac{2x-5}{2-x}.$
Розв'язок:
1. $\frac{x^2}{x-2}=\frac{3x}{x-2};$
$\left\{\begin{matrix}x^2=3x,\\x-2\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-3x=0,\\x\neq2;\\\end{matrix}x(x-3)=0;\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x_2=3,\\x\neq2;\\\end{matrix}\right.$
2. $\frac{x^2}{x+3}=\frac{9}{x+3};$
$\left\{\begin{matrix}x^2=9,\\x+3\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=-3,\\x\neq-3.\\\end{matrix}\right.$
Звідки корінь рівняння: $\left\{\begin{matrix}x=3,\\x\pm-3;\\\end{matrix}\right.$
3. $\frac{3x^2}{1-x}=\frac{x-14}{x-1};$
$\left\{\begin{matrix}3x^2=-(x-14),\\1-x\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}3x^2+x-14=0,\\x\neq1;\\\end{matrix}\right.$
$3x^2+x-14=0;$
$D=1^2-4·3·(-14)=$
$= 1+168=169=132;$
$D>0;$
$x_1=\frac{-1+13}{6}=2;$
$x_2=\frac{-1-13}{6}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}.$
Звідки $\left\{\begin{matrix}x_1=2,\\x_2=-\frac{7}{3},\\x\neq1.\\\end{matrix}\right.$
4. $\frac{x^2-3}{x-2}=\frac{2x-5}{2-x};$
$\left\{\begin{matrix}x^2-3=-(2x-5),\\x-2\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-3+2x-5=0,\\x\neq2;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2+2x-8=0,\\x\neq2.\\\end{matrix}\right.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2,\\x_1x_2=-8.\\\end{matrix}\right.$
Маємо: $\begin{matrix}&x_1=-4,\\&x_2=2.\\\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1=-4,\\x_2=2,\\x\neq2\\\end{matrix}\Rightarrow\right.$
$x=-4$ – корінь рівняння.
Відповідь:
1. $0; 3; x\neq2;$
2. $3; x\neq-3;$
3. $2;\ -\frac{7}{3};x\neq1$
4. $-4;x\neq2.$