№ 25.10 Алгебра = № 50.10 Математика
Знайдіть корені рівняння:
1. $\frac{x-2}{x}=\frac{3}{x+2};$
2. $\frac{3x-1}{x+3}=\frac{x}{x+1};$
3. $\frac{3}{4-x}=x;$
4. $\frac{6}{x}=2x-1.$
Розв'язок:
1. $\frac{x-2}{x}=\frac{3}{x+2};$
$\left\{\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x+2\right)=3x,\\x\neq0,\\x+2\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-4=3x,\\x\neq0,\\x\neq-2;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-3x-4=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=3,\\x_1x_2=-4\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=4,\\x_2=-1.\\\end{matrix}\right.$
Маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1=4,x_2=-1,\\x\neq0,x\neq-2.\\\end{matrix}\right.$
2. $\frac{3x-1}{x+3}=\frac{x}{x+1};$
$\left\{\begin{matrix}\left(3x-1\right)\left(x+1\right)=x(x+3),\\x+3\neq0,\\x+1\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}3x^2+3x-x-1=x^2+3x,\\x\neq-3,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$
$2x^2-x-1=0;$
$D=1^2-4·2·(-1)=$
$= 1+8=9=3^2; D>0;$
$x_1=\frac{1+3}{4}=1;$
$ x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.$
Маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1=1,x_2=-\frac{1}{2},\\x\neq-1,x\neq-3.\\\end{matrix}\right.$
3. $\frac{3}{4-x}=x;\left\{\begin{matrix}3=x(4-x),\\4-x\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}4x-x^2-3=0,\\x\neq4;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-4x+3=0,\\x\neq4;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-4x+3=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-4,\\x_1x_2=3\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=3,\\x_2=1.\\\end{matrix}\right. $
Тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=3,\\x_2=1,\\x\neq4.\\\end{matrix}\right.$
4. $\frac{6}{x}=2x-1;$
$\left\{\begin{matrix}6=(2x-1)x,\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}2x^2-x-6=0,\\x\neq0;\\\end{matrix}\right. $
$2x^2-x-6=0;$
$D=(-1)^2-4·2·(-6)=$
$= 49=72;D>0;$
$x_1=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2;$
$x_2=\frac{1-7}{4}=-\frac{6}{4}=-1{,}5.$
Маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1=1{,}5,\\x_2=-1,\\x\neq0.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $4;-1; $
2. $1;-\frac{1}{2};$
3. $3;1;$
4. $-1{,}5;2.$