№ 25.7 Алгебра = № 50.7 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x}{x+1};$
2. $\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2};$
3. $\frac{2x^2}{x-1}=\frac{3x-14}{1-x};$
4. $\frac{x^2-5}{x-3}=\frac{2x-10}{3-x}.$
Розв'язок:
1. $\frac{x^2}{x+1}=\frac{x}{x+1};$
$\left\{\begin{matrix}x^2=x,\\x+1\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-x=0,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-x=0;x(x-1)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x=0,\\x=1;\\\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x=0,\\x=1,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.\right.$
2. $\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2};$
$\left\{\begin{matrix}x^2=4,\\x-2\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=2,x_2=-2,\\x\neq2.\\\end{matrix}\right.$
Звідки корінь рівняння: $x=2,x≠2;$
3. $\frac{2x^2}{x-1}=\frac{3x-14}{1-x};$
$\left\{\begin{matrix}2x^2=-(3x-14),\\x-1\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}2x^2+3x-14=0,\\x\neq1;\\\end{matrix}\right.$
$2x^2+3x-14=0;$
$D=3^2-4·2·-14=$
$= 9+112= 121=112;$
$ D>0;$
$x_1=\frac{-3+11}{4}=\frac{8}{4}=2;$
$x_2=\frac{-3-11}{4}=\frac{-14}{4}=$
$= -\frac{7}{2}=-3{,}5;$
звідки $\left\{\begin{matrix}x_1=2,\\x_2=-3{,}5,\\x\neq1.\\\end{matrix}\right.$
4. $\frac{x^2-5}{x-3}=\frac{2x-10}{3-x};$
$\left\{\begin{matrix}x^2-5=-\left(2x-10\right),\\x-3\neq0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-5+2x-10=0,\\x\neq3;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+2x-15=0.$
Затеоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2,\\x_1x_2=-15.\\\end{matrix}\right.$
Звідки $\begin{matrix}x_1=-5,\\x_2\neq3.\\\end{matrix}$
Корінь рівняння $x=-5, x\neq3.$
Відповідь:
1. $0;1;x\neq-1;$
2.$-2;x\neq2;$
3. $-3;5;2;x\neq1;$
4.$-5;x\neq3.$