№ 25.4 Алгебра = № 50.4 Математика
Знайдіть корені біквадратного рівняння:
1. $x^4-17x^2+16=0;$
2. $x^4-6x^2+8=0;$
3. $x^4+2x^2-15=0;$
4. $3x^4-2x^2-8=0;$
5. $x^4+10x^2+9=0;$
6. $25x^4-10x^2+1=0.$
Розв'язок:
1. $x^4-17x^2+16=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2+17t+16=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=17,\\t_1t_2=16,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\left\{\begin{matrix}t_1=16,\\t_2=1.\\\end{matrix}\right.$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2=16,\\x^2=1\\\end{matrix}\Leftrightarrow\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_1=4,x_2=-4,\\x_3=1,x_4=-1.\\\end{matrix}\right.$
2. $x^4-6x^2+8=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-6t+8=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=6,\\t_1t_2=8,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\left\{\begin{matrix}&t_1=4,\\&t_2=2.\\\end{matrix}\right.$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2=4,\\x^2=2\\\end{matrix}\Leftrightarrow\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_1=2,x_2=-2,\\x_3=\sqrt2,x_4=-\sqrt2.\\\end{matrix}\right.$
3. $x^4+2x^2-15=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2+2t+5=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=-2,\\t_1t_2=-15,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=-5,\\t_2=3;\\\end{matrix}$
$t_1=-5$ – не задовольняє умові $t\geq0.$
Обернена заміна: $x^2=3;$
$\begin{matrix}&x_1=\sqrt3,\\&x_2=-\sqrt3.\\\end{matrix}$
4. $3x^4-2x^2-8=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $3t^2-2t-8=0;$
$D=(-2)^2-4·3·(-8)=$
$= 4+96=100=102;$
$D >0;$
$t_1=\frac{2+10}{2\cdot3}=2;$
$t_2=\frac{-2-10}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$
не задовольняє умові, $t\geq0.$
Обернена заміна: $x^2=2;\begin{matrix}&x_1=\sqrt2,\\&x_2=-\sqrt2.\\\end{matrix}$
5. $x^4+10x^2+9=0.$
Заміна: $x^2=t,\ \ t\geq0.$
Маємо: $t^2+10t+9=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=-10,\\t_1t_2=9,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=-9,\\t_2=-1;\\\end{matrix}$
${\ \ t}_1=-9;t_2=-1$ – не є коренями, $t\geq0.$
Коренів немає.
6. $25x^4-10x^2+1=0;$
$\left(5x^2-1\right)^2=0;$
$5x^2-1=0;5x^2=1;$
$x^2=\frac{1}{5};\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{1}{\sqrt5},\\x_2=-\frac{1}{\sqrt5};\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{\sqrt5}{5},\\x_2=-\frac{\sqrt5}{5}.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $\pm4;\pm1;$
2. $\pm2;\pm\sqrt2;$
3. $\pm\sqrt3;$
4. $\pm\sqrt2;$
5. коренів немає;
6. $\pm\frac{\sqrt5}{5}.$