№ 25.3 Алгебра = № 50.3 Математика
Розв’яжіть біквадратне рівняння:
1. $x^4-5x^2+4=0;$
2. $x^4-9x^2+8=0;$
3. $x^4-2x^2-8=0;$
4. $2x^4-x^2-6=0;$
5. $x^4+5x+4=0;$
6. $9x^4-6x^2+1=0.$
Розв'язок:
1. $x^4-5x^2+4=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-5t+4=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=5,\\t_1t_2=4,\\\end{matrix}\right. звідки \begin{matrix}t_1=4,\\t_2=1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна: $\left\{\begin{matrix}x^2=4,\\x^2=1;\\\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_1=2,{\ x}_2=-2,\\x_3=1,{\ x}_4=-1.\\\end{matrix}\right.\right.$
2. $x^4-9x^2+8=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-9t+9=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=9,\\t_1t_2=8,\\\end{matrix}\right. звідки \begin{matrix}t_1=8,\\t_2=1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2=8,\\x^2=1;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=2\sqrt2,x_2=-2\sqrt2,\\x_3=1,x_4=-1.\\\end{matrix}\right.$
3. $x^4-2x^2-8=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-2t-8=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-8,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=4,\\t_2=-2.\\\end{matrix}$
$t_2=-2$ – не є розв'язком, $t\geq0.$
Обернена заміна: $x^2=4;\left\{\begin{matrix}x_1=2,\\x_2=-2.\\\end{matrix}\right.$
4. $2x^4-x^2-6=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $2t^4-t-6=0;$
$D=(-1)^2-4·2·(-6)=$
$= 49=72;D>0;$
$t_1=\frac{1+7}{2\cdot2}=2;$
$ t_1=\frac{1-7}{2\cdot2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2};$
не є розв'язком, $t\geq0. $
Обернена заміна: $x^2=2; \left\{\begin{matrix}x_1=\sqrt2,\\x_2=-\sqrt2.\\\end{matrix}\right.$
5. $x^4+5x+4=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2+5t+4=0. $
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=-5,\\t_1t_2=4,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=-4,\\t_2=-1;\\\end{matrix} \left.\begin{matrix}t_1=-4\\t_2=-1\\\end{matrix}\right\}$ – не є коренями рівняння, $t\geq0.$ Коренів немає.
6. $9x^4-6x^2+1=0;$
$\left(3x^2-1\right)^2=0;$
$3x^2-1=0;3x^2=1;$
$x^2=\frac{1}{3};\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{1}{\sqrt3},\\x_2=-\frac{1}{\sqrt3};\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=\frac{\sqrt3}{3},\\x_2=-\frac{\sqrt3}{3}.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $\pm2;\pm1;$
2. $\pm2\sqrt2;\pm1;$
3. $\pm2;$
4. $\pm\sqrt2;$
5. коренів немає;
6. $\pm\frac{\sqrt3}{3}.$