№ 25.31 Алгебра = № 50.31 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $x+2\sqrt x-8=0;$
2. $\left(x^2-2x-1\right)\left(x^2-2x-3\right)=$
$= 3;$
3. $(x+1)^2-4(x+1)^2=0;$
4. $\left(x^2-x-1\right)^2-4x^2+$
$+ 4x-1=0.$
Розв'язок:
1. $x+2\sqrt x-8=0.$
Заміна: $\sqrt x=t, t\geq0.$
Маємо: $t^2+2t-8=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=-2,\\t_1t_2=-8,\\\end{matrix}\right.$
звідки: $\begin{matrix}t_1=-4,\\t_2=2;\\\end{matrix}$
$t=-4$ – не задовольняє умові, $t\geq0.$
Обернена заміна: $\sqrt x=2;x=4.$
2. $\left(x^2-2x-1\right)\left(x^2-2x-3\right)=$
$= 3.$
Заміна: $x^2-2x-1=t,t\geq0.$
Маємо: $t(t-2)=3;$
$t^2-2t-3=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-3,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=3,\\t_2=-1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2-2x-1=3,\\x^2-2x-1=-1;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-2x-4=0,\\x^2-2x=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-2x-4=0;$
$D=1+4=5;D>0;$
$x_1=1+\sqrt5;$
$x_2=1-\sqrt5;$
$x^2-2x=0;$
$x(x-2)=0;x=0$ або $x=2.$
3. $(x+1)^2-4(x+1)^2=0.$
Заміна: $(x+1)^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-5t-6=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=5,\\t_1t_2=-6,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=6,\\t_2=-1.\\\end{matrix}$
$t=-1$ – не задовольняє умові, $t\geq0.$
Обернена заміна:
$(x+1)^2=6;$
$\left\{\begin{matrix}x+1=\sqrt6\\x+1=-\sqrt6\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=\sqrt6-1,\\x_2=-\sqrt6-1.\\\end{matrix}\right.$
4. $\left(x^2-x-1\right)^2-$
$- 4x^2+ 4x-1=0;$
$\left(x^2-x-1\right)^2-$
$- 4\left(x^2-x-1\right)-$
$- 4-1=0;$
$\left(x^2-x-1\right)^2-$
$- 4\left(x^2-x-1\right)-5=0.$
Заміна: $x^2-x-1=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-4t-5=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1,\\x_1x_2=-6;\\\end{matrix}\right.$
$\begin{matrix}x_1=3,\\x_2=-2;\\\end{matrix}$
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=4,\\t_1t_2=-5,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=5\\t_2=-1\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2-x-1=5,\\x^2-x-1=-1;\\\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}x^2-x-6=0,\\x^2-x=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-x-6=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1,\\x_1x_2=-6;\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}x_1=3,\\x_2=-2;\\\end{matrix}$
$x^2-x=0;x(x-1)=0;$
$x=0$ або $x=1.$
Відповідь:
1. $4;$
2. $1\pm\sqrt5;0;2.$
3. $\sqrt6-1;-\sqrt6-1;$
4. $-2;3;1;0;$