№ 25.30 Алгебра = № 50.30 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $x-\sqrt x-6=0;$
2. $\left(x^2+2x-2\right)\left(x^2+2x-4\right)=$
$= 8;$
3. $(x-2)^4-2(x-2)^2-3=0;$
4. $\left(x^2+x+1\right)^2-8x^2-$
$- 8x-1=0.$
Розв'язок:
1. $x-\sqrt x-6=0.$
Заміна: $\sqrt x=t, t\geq0.$
Маємо: $t^2-t-6=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=1,\\t_1t_2=-6,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=3,\\t_2=-2;\\\end{matrix}$
$t=-2$ – не задовольняє умові, $t\geq0.$
Обернена заміна: $\sqrt x=3;x=9.$
2. $\left(x^2+2x-2\right)\left(x^2+2x-4\right)=$
$= 8.$
Заміна: $x^2+2x-2=t.$
Маємо: $t\left(t-2\right)=8; $
$t^2-2t-8=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-8,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=4,\\t_2=-2.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2+2x-2=4,\\x^2+2x-2=-2;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2+2x-6=0,\\x^2+2x=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+2x-6=0;$
$D=1+6=7;$
$x_1=-1+\sqrt7;$
$x_2=-1-\sqrt7;$
$x^2+2x=0;$
$x\left(x+2\right)=0;$
$x_1=0$ або $x_2=-2.$
3. $(x-2)^4-2(x-2)^2-3=0.$
Заміна: $(x-2)^2=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-2t-3=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-3,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=3,\\t_2=-1,\\\end{matrix}$
$t_2=-1$ - не задовольняє умові, $t ≥ 0.$
Обернена заміна:
$(x-2)^2=3,$ тобто
$\left\{\begin{matrix}x-2=\sqrt3,\\x-2=-\sqrt3;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x=2+\sqrt3,\\x=2-\sqrt3;\\\end{matrix}\right.$
4. $\left(x^2+x+1\right)^2-8x^2-$
$- 8x-1=0;$
$\left(x^2+x+1\right)^2-$
$- 8\left(x^2+x+1\right)+8-1=0;$
$\left(x^2+x+1\right)^2-$
$- 8\left(x^2+x+1\right)+7=0.$
Заміна: $x^2+x+1=t,t\geq0.$
Маємо: $t^2-8t+7=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=8,\\t_1t_2=7,\\\end{matrix}\right. звідки \begin{matrix}t_1=7,\\t_2=1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2+x+1=7,\\x^2+x+1=1;\\\end{matrix}\right.$
$ \left\{\begin{matrix}x^2+x-6=0,\\x^2+x=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+x-6=0;$
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-1,\\x_1x_2=-6;\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}x_1=-3,\\x_2=2,\\\end{matrix}$
$x^2+x=0;$
$x(x+1)=0;$
$x=0$ або $x=-1.$
Відповідь:
1. $9;$
2. $–1 ±7;-2;0;$
3. $2\pm\sqrt3;$
4. $-3;-1;0;2.$