Завдання № 25.29

№ 25.29 Алгебра = № 50.29 Математика

Знайдіть корені рівняння:

1. $x^5-x^4-2x^3+$

$+ 2x^2-3x+3=0;$

2. $x^3-3x^2-6x+8=0.$

1. $x^5-x^4-2x^3+2x^2-$

$- 3x+3=0;$

$x^4(x-1)-2x^2(x-1)-$

$- 3(x-1)=0;$

$(x-1)\left(x^4-2x^2-3\right)=0;$

$\left\{\begin{matrix}x-1=0,\\x^4-2x^2-3=0\\\end{matrix}\Leftrightarrow\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=1,\\x^4-2x^2-3=0;\\\end{matrix}\right.$

$x^4-2x^2-3=0.$

Заміна: $x^2=t,t\geq0.$

За теоремою Вієта маємо:

$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-3,\\\end{matrix}\right.$

звідки $\begin{matrix}t_1=3,\\t_2=-1,\\\end{matrix}$

$t_1=-1$ – не задовольняє умові, $t\geq0.$

Обернена заміна:

$x^2=3;x=\pm\sqrt3.$

Отже, $\left\{\begin{matrix}x=1,\\x=\pm\sqrt3.\\\end{matrix}\right.$

2. $x^3-3x^2-6x+8=0;$

$\left(x^3+8\right)-3x(x+2)=0;$

$(x+2)\left(x^2-2x+4\right)-$

$- 3x(x+2)=0;$

$(x+2)\left(x^2-2x+4-3x\right)=$

$= 0;$

$\left\{\begin{matrix}x+2=0;\\x^2-5x+4=0;\\\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x=-2;\\x^2-5x+4=0;\\\end{matrix}\right.$

$x^2-5x+4=0.$

За теоремою Вієта маємо:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=5,\\x_1x_2=4,\\\end{matrix}\right.$

звідки $\begin{matrix}x_1=4,\\x_2=1.\\\end{matrix}$

Отже, $\left\{\begin{matrix}x_1=-2,\\x_2=4,\\x_3=1.\\\end{matrix}\right.$

1. $1;\pm\sqrt3;$

2. $–2; 1; 4.$