№ 25.28 Алгебра = № 50.28 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $x^5+x^4-6x^3-$
$- 6x^2+5x+5=0;$
2. $x^3+2x^2-2x-1=0.$
Розв'язок:
1. $x^5+x^4-6x^3-6x^2+$
$+ 5x+5=0;$
$\left(x^5+x^4\right)-\left(6x^3+6x^2\right)+$
$+ (5x+5)=0;$
$x^4(x+1)-6x^2(x+1)+$
$+ 5(x+1)=0;$
$(x+1)\left(x^4-6x^2+5\right)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x+1=0,\\x^4-6x^2+5=0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x=-1,\\x^4-6x^2+5=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^4-6x^2+5=0.$
Заміна: $x^2=t,t\geq0.$
$t^2-6t+5=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=6,\\t_1t_2=5,\\\end{matrix}\right. $
звідки $\begin{matrix}t_1=5,\\t_2=1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2=5,\\x^2=1;\\\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm\sqrt5,\\x_{3,4}=\pm1.\\\end{matrix}\right.\right.$
2. $x^3+2x^2-2x-1=0$
$\left(x^3-1\right)+\left(2x^2-2x\right)=0;$
$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+$
$+ 2x\left(x-1\right)=0;$
$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1+2x\right)=$
$= 0;$
$\left(x-1\right)\left(x^2+3x+1\right)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x-1=0,\\x^2+3x+1=0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x=1,\\x^2+3x+1=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+3x+1=0;$
$D=3^2-4·1=9-4=5;$
$D>0;$
$x_1=\frac{-3+\sqrt5}{2};$
$x_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}.$
Отже, $\left\{\begin{matrix}x_1=1,\\x_{2{,}3}=\frac{-3±5}{2}.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $\pm\sqrt5;\pm1;$
2. $1;\frac{-3\pm\sqrt5}{2}.$