Завдання № 25.26

№ 25.26 Алгебра = № 50.26 Математика

Знайдіть корені рівняння:

1. $\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}-\frac{1}{3(x+4)}=$

$= \frac{1}{x^3+4x^2+3x+12};$

2. $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2+3x+2}=$

$= \frac{32}{x^3+2x^2-x-2}.$

1. $\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}-\frac{1}{3(x+4)}=$

$= \frac{1}{x^3+4x^2+3x+12}.$

Врахуємо, що $x^3+4x^2+3x+12=$

$= x^2\left(x+4\right)+3\left(x+4\right)=$

$= \left(x+4\right)\left(x^2+3\right).$

Маємо:

$\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}-\frac{1}{3(x+4)}=\frac{1}{(x+4)\left(x^2+3\right)};$

$\frac{3(x+4)-2\left(x^2+3\right)}{6\left(x^2+3\right)(x+4)}=\frac{6}{6(x+4)\left(x^2+3\right)};$

$\left\{\begin{matrix}3x+12-2x^2-6=6,\\x^2+3\neq0,\\x+4\neq0;\\\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}2x^2-3x=0,\\x^2\neq-3,\\x\neq-4;\\\end{matrix}\right.$

$x(2x-3)=0;x_1=0;$

$x_2=1{,}5;x\neq-4.$

2. $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{32}{x^3+2x^2-x-2}.$

Врахуємо, що $x^2+3x+2=0.$

За теоремою Вієта маємо:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-3,\\x_1x_2=2\\\end{matrix}\Rightarrow\begin{matrix}x_1=-2,\\x_2=-1.\\\end{matrix}\right.$

Тобто $x^2+3x+2=(x+2)(x+1);$

$x^3+2x^2-x-2=$

$= x^2(x+2)-(x+2)=$

$= (x+2)\left(x^2-1\right)=$

$= (x+2)(x-1)(x+1).$

Маємо:

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x+2)(x+1)}=$

$= \frac{32}{(x+2)(x-1)(x+1)};$

$\frac{(x+2)(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+2)(x+1)}=$

$= \frac{32}{(x+2)(x-1)(x+1)};$

$\left\{\begin{matrix}x^2+3x+2+x-1=32,\\x-1\neq0,\\x+2\neq0,\\x+1\neq0;\\\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2+4x-31=0,\\x\neq1,\\x\neq-2,x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$

$x^2+4x-31=0;$

$D=4^2-4·-31=$

$= 16+124=140;D>0;$

$x_{1{,}2}=\frac{-4\pm\sqrt{140}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{35}}{2}=$

$= -2\pm\sqrt{35}.$

1. $0;1{,}5;x\neq-4.$

2. $-2\pm\sqrt{35}.$