№ 25.25 Алгебра = № 50.25 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\left(x^2+2\right)^2-2\left(x^2+2\right)-3=$
$= 0;$
2. $\left(x^2+x\right)^2-5\left(x^2+x\right)-6=$
$= 0.$
Розв'язок:
1. $\left(x^2+2\right)^2-2\left(x^2+2\right)-3=$
$= 0. $
Заміна: $x^2+2=t.$
Маємо: $t^2-2t-3=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=2,\\t_1t_2=-3\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}t_1=3,\\t_2=-1.\\\end{matrix}\right.$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2+2=3,\\x^2+2=-1\\\end{matrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2=1,\\x^2=-3;\\\end{matrix}\right.\right.x^2=1;x_1=1;x_2=-1;$
$x^2=-3$ - коренів не має.
2. $\left(x^2+x\right)^2-5\left(x^2+x\right)-6=$
$= 0.$
Заміна: $x^2+x=t.$
Маємо: $t^2-5t-6=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=5,\\t_1t_2=-6.\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}t_1=6,\\t_2=-1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2+x=6,\\x^2+x=-1;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2+x-6=0,\\x^2+x+1=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+x-6=0;$
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-1,\\x_1x_2=-6\\\end{matrix}\Rightarrow\begin{matrix}x_1=-3,\\x_2=2;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+x+1=0;$
$D=1-4·1=-3; D<0;$
коренів немає.
Відповідь:
1. $±1;$
2. $-3;2$