№ 25.24 Алгебра = № 50.24 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\left(x^2+3\right)^2-3\left(x^2+3\right)-4=$
$= 0;$
2. $\left(x^2-x\right)^2+2\left(x^2-x\right)-8=$
$= 0.$
Розв'язок:
1. $\left(x^2+3\right)^2-3\left(x^2+3\right)-4=$
$= 0.$
Заміна: $x^2+3=t.$
Маємо: $t^2-3t-4=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=3,\\t_1t_2=-4;\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}&t_1=4,\\&t_2=-1.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2+2=3,\\x^2+2=-1\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2=1,\\x^2=-3;\\\end{matrix}\right.$
$x^2=1; \left[\begin{matrix}x_1=1,\\x_2=-1;\\\end{matrix}\right.$
$x^2=-4$ – коренів немає.
2. $\left(x^2-x\right)^2+2\left(x^2-x\right)-8=$
$= 0.$
Заміна: $x^2-x=t.$
Маємо: $t^2+2t-8=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2=-2,\\t_1t_2=-8;\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}&t_1=-4,\\&t_2=2.\\\end{matrix}$
Обернена заміна:
$\left\{\begin{matrix}x^2-x=-4,\\x^2-x=2;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-x+4=0,\\x^2-x-2=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-x+4=0;$
$D=1-4·4=-15; D<0;$
коренів немає;
$x^2-x-2=0;$
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1,\\x_1x_2=-2;\\\end{matrix}\right.\begin{matrix}&x_1=2,\\&x_2=-1.\\\end{matrix}$
Відповідь:
1. $\pm1; $
2. $2; –1.$