Завдання № 25.21

№ 25.21 Алгебра = № 50.21 Математика

Для якого значення x:

1. сума дробів $\frac{6}{1 – x}$ і $\frac{x}{x\ +\ 2}$ дорівнює їх добутку;

2. сума дробів $\frac{2}{x – 3}$ і $\frac{6}{x\ +\ 3}$ дорівнює їх частці?

1. $\frac{6}{1-x}+\frac{x}{x+2}=\frac{6}{1-x}\cdot\frac{x}{x+2};$

$\frac{6(x+2)+x(1-x)}{(1-x)(x+2)}=\frac{6x}{(1-x)(x+2)};$

$\frac{6x+12+x-x^2}{(1-x)(x+2)}=\frac{6x}{(1-x)(x+2)};$

$\frac{-x^2+7x+12}{(1-x)(x+2)}=\frac{6x}{(1-x)(x+2)};$

$\left\{\begin{matrix}-x^2+7x+12=6x,\\1-x\neq0,\\x+2\neq0;\\\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}-x^2+x+12=0,\\x\neq1,\\x\neq-2;\\\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x^2-x-12=0,\\x\neq1,\\x\neq-2;\\\end{matrix}\right.$

$x^2-x-12=0.$

За теоремою Вієта маємо:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1,\\x_1x_2=-12\\\end{matrix}\Rightarrow\begin{matrix}x_1=4,\\x_2=-3.\\\end{matrix}\right.$

2. $ \frac{2}{x-3}+\frac{6}{x+3}=\frac{2}{x-3}:\frac{6}{x+3};$

$\frac{2(x+3)+6(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x+3)}{(x-3)\cdot6};$

$\frac{2x+6+6x-18}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)}{3(x-3)};$

$\frac{8x-12}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)}{3(x-3)};$

$\frac{4(2x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)}{3(x-3)};$

$\ \frac{4(2x-3)}{x+3}=\frac{x+3}{3};$

$\left\{\begin{matrix}12(2x-3)=(x+3)^2,\\x\neq\pm3;\\\end{matrix}\right.$

$24x-36=x^2+6x+9;$

$x^2-18x+45=0;$

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=18,\\x_1x_2=45;\\\end{matrix}\right.$

$ \left\{\begin{matrix}x_1=15,\\x_2=3;\\\end{matrix}\right.$

$x=3$ – не задовольняє умові.

1. $4;-3;x\neq1;x\neq-2;$

2. $15;x\neq3.$