№ 25.14 Алгебра = № 50.14 Математика
Розв’яжіть рівняння:
1. $\frac{12}{x}-\frac{12}{x+1}=1;$
2. $\frac{3}{x}+\frac{1}{x-4}=1.$
Розв'язок:
1. $\frac{12}{x}-\frac{12}{x+1}=1;$
$\frac{12\left(x+1\right)-12x}{x\left(x+1\right)}=1;$
$\left\{\begin{matrix}12x+12-12x=x^2+x,\\x\neq0,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2+x-12=0,\\x\neq0,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+x-12=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-1,\\x_1x_2=-12\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=-4,\\x_2=3,\\\end{matrix}\right.$
тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=-4,\\x_2=3,\\x\neq0,\\x\neq-1;\\\end{matrix}\right.$
2. $\frac{3}{x}+\frac{1}{x-4}=1;\ \frac{3(x-4)+x}{x(x-4)}=1;$
$\left\{\begin{matrix}3x-12+x=x^2-4x,\\x\neq0,\\x\neq4;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x^2-8x+12=0,\\x\neq0,\\x\neq4;\\\end{matrix}\right.$
$x^2-8x+12=0.$
За теоремою Вієта маємо:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=8,\\x_1x_2=12\\\end{matrix}\Leftrightarrow\begin{matrix}x_1=6,\\x_2=2,\\\end{matrix}\right. $
тобто $\left\{\begin{matrix}x_1=6,\\x_2=2,\\x\neq0,x\neq4.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $1; 4; $
2. $2; 6.$