№ 25.11 Алгебра = № 50.11 Математика
Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники:
1. $x^3-4x=0;$
2. $x^3+9x=0;$
3. $4x^4-x^2=0;$
4. $x^3+x^2-6x=0.$
Розв'язок:
1. $x^3-4x=0;x\left(x^2-4\right)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x^2-4=0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x^2=4;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x_2=2,\\x_3=-2;\\\end{matrix}\right.$
2. $x^3+9x=0;$
$x\left(x^2+9\right)=0;x=0$ або
$x^2+9=0;x^2\neq-9;$ коренів немає, тобто
$x=0$ – єдиний корінь рівняння.
3. $4x^4-x^2=0;$
$x^2\left(4x^2-1\right)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x^2=0,\\4x^2-1=0;\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x^2=\frac{1}{4};\\\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x_2=\frac{1}{2},x_3=-\frac{1}{2};\\\end{matrix}\right.$
4. $x^3+x^2-6x=0;$
$x\left(x^2+x-6\right)=0;$
$\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x^2+x-6=0;\\\end{matrix}\right.$
$x^2+x-6=0.$
За теоремою Вієта маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-1,\\x_1x_2=-6;\\\end{matrix}\right.$
звідки $\left\{\begin{matrix}x_1=-3,\\x_2=2.\\\end{matrix}\right.$
Маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1=0,\\x_2=-3,\\x_3=2.\\\end{matrix}\right.$
Відповідь:
1. $0; \pm2;$
2. $0;$
3. $0; \pm\frac{1}{2}; $
4. $–3; 0;2.$