№ 24.36 Алгебра = № 49.36 Математика
Числа $x_1$ і $x_2$ є коренями рівняння $x^2 – 2x – 10 = 0.$ Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1. $x_1^2+x_2^2;$
2. $x_1^3+x_2^3;$
3. $\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2};$
4. $x_1^4+x_2^4.$
Розв'язок:
$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=2,\\x_1x_2=-10.\\\end{matrix}\right.$
1. $x_1+x_2=2;\left(x_2+x_2\right)^2=4;$
$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=4;$
$x_1^2+x_2^2=4-2x_1x_2;$
$x_1^2+x_2^2=4-2\cdot(-10)=24;$
$x_1^2+x_2^2=24;$
2. $x_1^3+x_2^3=$
$= \left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=$
$= 2\cdot(24+10)=2\cdot34=68;$
3. $\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1^2x_2^2}=$
$= \frac{68}{(-10)^2}=\frac{68}{100}=0{,}68;$
4. $x_1^4+x_2^4,\left(x_1^2+x_2^2\right)^2={24}^2;$
$x_1^4+2x_1^2x_2^2+x_2^2=576;$
$x_1^4+x_2^2=576-2\cdot100=$
$= 376.$
Відповідь:
1. $24;$
2. $68;$
3. $0{,}68;$
4. $376.$