№ 24.28 Алгебра = № 49.28 Математика
Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочлена та доведіть, що для будь-якого значення x квадратний тричлен:
1. $x^2 – 4x + 9$ набуває додатного значення;
2. $2x^2 + 8x + 8$ набуває невід’ємного значення;
3. $–x^2 + 6x – 16$ набуває від’ємного значення;
4. $–x^2 + 10x – 25$ набуває недодатного значення.
Розв'язок:
1. $x^2-4x+9=$
$= x^2-4x+4+5=$
$= (x-2)^2+5.$
Так як $(x-2)^2\geq0,$
то і $(x-2)^2+5>0,$
то і $x^2-4x+9>0.$ Доведено.
2. $2x^2+8x+8=$
$= 2\left(x^2+4x+4\right)=$
$= 2(x+2)^2.$
Так як $2(x+2)^2\geq0,$
то і $2x^2+8x+8\geq0.$
Доведено.
3. $-x^2+6x-16=$
$= -(x^2-6x+16)=$
$= -(x^2-6x+9-9+16)=$
$= -((x-3)^2+7)=$
$= -(x-3)^2-7.$
Так як $-(x-3)^2\le0,$
то і $-(x-3)^2-7<0,$
звідки $-x^2+6x-16<0. $
Доведено.
4. $-x^2+10x-25=$
$= -\left(x^2-10x+25\right)=$
$= -(x-5)^2. $
Так як $-(x-5)^2\le0,$
то і $-x^2+10x-25\le0. $
Доведено.