№ 24.23 Алгебра = № 49.23 Математика
Скоротіть дріб:
1. $\frac{4x-12}{x^2-5x+6};$
2. $\frac{x^2-x-12}{x^2+3x};$
3. $\frac{2x^2+5x-3}{x^2-9};$
4. $\frac{x^2-4x+4}{x^2+5x-14};$
5. $\frac{2x^2+9x-5}{3x^2+14x-5};$
6. $\frac{5x^2-37x+14}{22x-2x^2-56}.$
Розв'язок:
1. $\frac{4x-12}{x^2-5x+6}=$
$= \frac{4(x-3)}{(x-3)(x-2)}=\frac{4}{x-2};$
2. $\frac{x^2-x-12}{x^2+3x}=$
$= \frac{(x-4)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-4}{x};$
3. $\frac{2x^2+5x-3}{x^2-9}=$
$= \frac{2(x+3)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{(x-3)(x+3)}=$
$= \frac{2x-1}{x-3};$
$2x^2+5x-3=0;$
$D=5^2-4·2·(-3)=$
$= 25+24=49=72;D>0;$
$x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$
$x_2=\frac{-5-7}{4}=-3;$
4. $\frac{x^2-4x+4}{x^2+5x-14}=$
$= \frac{(x-2)^2}{(x+7)(x-2)}=$
$= \frac{x-2}{x+7};$
5. $\frac{2x^2+9x-5}{3x^2+14x-5}=$
$= \frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+5)}{3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+5)}=$
$= \frac{2x-1}{3x-1};$
$2x^2+9x-5=0;$
$D=9^2-4·2·(-5)=$
$= 81+40=121=112;$
$D>0;$
$x_1=\frac{-9+11}{4}=\frac{1}{2};$
$x_2=\frac{-9-11}{4}=\frac{-20}{4}=-5;$
$3x^2+14x-5=0;$
$D={14}^2-4·3·(-5)=$
$= 196+60=256=162;$
$D>0;$
$x_1=\frac{-14+16}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};$
$x_1=\frac{-14-16}{6}=-5;$
6. $\frac{5x^2-37x+14}{22x-2x^2-56}=$
$\frac{5\left(x-\frac{2}{5}\right)(x-7)}{-2(x-7)(x-4)}=$
$\frac{5x-2}{-2x+8};$
$5x^2-37x+14=0;$
$D=(-37)^2-4·5·14=$
$1369-280=1089 ={33}^2;$
$D>0;$
$x_1=\frac{37+33}{2\cdot5}=\frac{70}{10}=7;$
$x_2=\frac{37-33}{2\cdot5}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5};$
$-2x^2+22x-56=0;$
$2x^2-22x+56=0\mid:2; $
$x^2-11x+28=0.$
За теоремою Вієта маємо: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=11,\\x_1x_2=28,\\\end{matrix}\right.$
звідки $\begin{matrix}x_1=7,\\x_2=4.\\\end{matrix}$
Відповідь:
1. $\frac{4}{x-2};$
2. $ \frac{x-4}{x};$
3. $\frac{2x-1}{x-3};$
4. $ \frac{x-2}{x+7};$
5. $ \frac{2x-1}{3x-1};$
6. $\frac{5x-2}{-2x+8}.$